[C++知识库]第一章 基础算法

基础算法(一）

快速排序

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];//i,j指针取左右两端的两侧,因为后面要直接加1
    while (i < j)//知道>=为止
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);//swap是交换两个数
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);//这里j是习惯问题,不要改了，如果前面取的是x=q[l]或者x=q[r]会有边界问题死循环，还要处理，但是前面取x = q[l + r >> 1]就没什么事了。
}

[平均的]时间复杂度:$O(nlogn)$ (以2为底的$logn$)
[最坏]时间复杂度:$O(n^2)$
快排的期望是$n/2$，递归的层数的期望是$log2n$层，所以平均的时间复杂度:$O(nlogn)$

归并排序

注意快排和递归的区别，快排是先排序再递归两边，递归是先递归再排序之类的其他操作

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;//中点
    merge_sort(q, l, mid);//递归排序左边
    merge_sort(q, mid + 1, r);//递归排序右边
//这里假设左右两边都排好之后左右两边都有序了。

//归并
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;//i指向左半边的起边，j指向右半边的起点
    while (i <= mid && j <= r)//当左半边和右半边都没有循环空的时候
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];//判断,把小的放到当前位置上去
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
//如果有一边没有循环完的话,把剩下的直接接到后面去。
    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
//把临时数组里面的元素存回q[]里面去
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

时间复杂度:$O(nlogn)$ (以2为底的$logn$)
归并排序的递归树，树种每层元元素的个数最多是n，也就代表着每层最多进行n次比较，而递归树最多只有log2n层(n除以log2n次就除为1了)，合在一起就是$nlog2n$了。

整数二分

很好的二分查找解释的视频：https://www.bilibili.com/video/BV1d54y1q7k7?from=search&seid=7982797064148706619
C++的库函数

y总的
有单调性一定可以二分，没有单调性有可能也可以二分，

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求，如果要保留4位小数，这里写1e-6，如果要保留6位小数，这里写1e-8，要始终比要求高两位小数
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}