[C++知识库] 【C/C++无聊练手（一）】从「计算1/N的循环节」到「计算M/N的循环节」的理论推导&代码实现

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[C++知识库]【C/C++无聊练手（一）】从「计算1/N的循环节」到「计算M/N的循环节」的理论推导&代码实现

文章目录

理论分析

分析一个复杂的问题，我们通常考虑它的简单形式，然后推广到一般。我们考虑 $1 / N$ 的循环节问题，最简单的方法就是令 $N$ 为较小的数，然后观察规律，最终推广。因此，我们先考虑 $1 / 7$ ——

$1/7=0.\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7} \tag{1.1}$

考虑到乘以 $10$ 相当于小数点右移一位，例如

$10/7=1.\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7}\dot{1} \tag{1.2}$

那么，乘以 $10^6$ 相当于小数点右移 $6$ 位，即

$10^6/7=142857.\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7} \tag{1.3}$

我们知道， $1$ 除以 $7$ 的余数为 $1$ ，我们记为 $1\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) \equiv 1$ 。

而「 $10^6$ 除以 $7$ 的循环节」与「 $1$ 除以 $7$ 的循环节」都是 $\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7}$ ，所以 $10^6$ 除以 $7$ 的余数等于 $1$ 除以 $7$ 的余数，我们记为

$10^6\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) \equiv 10^0\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) \equiv 1 \tag{1.4}$

实际上， $1 / 7$ 小数点后的 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 位恰好是循环节，而此处 $10^6\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) \equiv 10^0\left( \mathrm{mod}\ 7 \right)$ ，那么这不禁让我们猜想——

定理1：如果 $10^{q}\equiv10^{p}\left(\mathrm{mod}\ N\right)$ ，那么小数点后 $\left(p,\ q\right]$ 必是 $1 / N$ 的循环节

该结论此处我们不证，我们继续看下一个例子，来说明这个结论的正确性——

我们考虑 $1/6=0.1\dot{6}$ ，其中——

$\begin{cases} 10^0\left( \mathrm{mod}\ 6 \right) \equiv 1\\ 10^1\left( \mathrm{mod}\ 6 \right) \equiv 4\\ 10^2\left( \mathrm{mod}\ 6 \right) \equiv 4\\ \tag{1.5} \end{cases}$

对比定理1，此处 $p = 1, q = 2$ ，所以小数点后第 $\left(p,\ q\right]=2$ 位就是循环节。

虽然定理1看起来只是一个充分条件，但它其实是充要的，这里也不予证明。此时，我们计算循环节的问题就归结为了计算 $10^{p}\left(\mathrm{mod}\ N\right)$ ，如果遇到有相同的元素，那么就对应地区间就是循环节了。

不过我们自然还有一个问题—— $p$ 的需要无穷无尽地算下去吗？答案是：没必要，循环节长度最大为 $N ? 1$ 。因为任何一个数 $\mathrm{mod}\ N$ 的取值范围都在 $0,\ 1,\cdots,\ N-1$ 里。特别地，如果遇到了 $0$ ，这代表 $10^p$ 可以整除 $N$ ，那么这个数是一个有限小数。因此，循环小数不可能出现取值为 $0$ 的情况，只要余数在 $1,\cdots,\ N-1$ 出现了 $2$ 次，那么这个区间就被确定下来了。根据抽屉原理，循环节长度最大为 $N ? 1$ 。因此，我们得到定理2——

定理2：如果 $1 / N$ 不是一个有限小数，那么一定存在两个不同的非负整数 $p,q\left( p\neq q\right)$ ，其中 $\ q<N$ ，使得 $10^p\equiv 10^q\left(\mathrm{mod}\ N\right)$

同样地，定理2我们也不证（事实上，证明的思想就是上面的抽屉原理）。根据这两个定理，我们就能确定 $1 / N$ 的循环节问题计算思路了——

从 $p = 0$ 到 $N ? 1$ ，计算 $10^p \left( \mathrm{mod}\ N\right)$
- 如果当前 $p=p_1$ 与上面的某次 $p=p_0$ 的结果相同，那么循环节为 $\left(p_0,\ p_1\right]$
- 如果 $10^p \left( \mathrm{mod}\ N\right)\equiv 0$ ，则该数是有限小数

当然，上面仅仅是一个思路，我们不会傻乎乎地 $10^p \left( \mathrm{mod}\ N\right)$ ，我们实际上会通过递推的方式实现。

C实现1/N

代码如下——

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>

void CalCycleDiv (int N) {
    typedef unsigned char uint8;    // 使用uint8表示0~9的数字，用以节省空间

    if (N <= 0) {                   // 异常处理
        printf("要求输入的N为正整数，您输入的N=%d\n", N);
        return;
    }

    int    remainder = 1;           // 初始余数(10^0 mod N) == 1
    uint8 *decimal   = (uint8 *)malloc(N * sizeof(uint8));  // 小数部分
    int   *power     = (int *)malloc(N * sizeof(int));  // power[10^p mod N] == p
    int    len       = 0;           // 当前小数位数
    int    loopP     = 0;           // 循环节范围(loopP, loopQ]
    int    loopQ     = 0;           // 循环节范围(loopP, loopQ]

    for (int i = 0;i < N;++i) {             // 初始化power为无效值N
        power[i] = N;
    }

    while (true) {
        decimal[len] = (uint8)(remainder / N);  // 求商数
        remainder = remainder % N;              // 求余数
        if (remainder == 0) {                   // 如果除尽了，必为有限小数
            loopP = loopQ = len;
            break;
        }
        if (power[remainder] != N) {            // 如果10^(len) == 10^(power[remainder]) (mod N)
            loopP = power[remainder];
            loopQ = len;
            break;
        }

        power[remainder] = len;                 // 记录10^(len) mod N == remainder
        ++len;
        remainder *= 10;
    }

    // 显示输出
    printf("%d / %d == %d.", 1, N, 1/N);    // 整数部分
    if (N == 1) {                           // 特殊处理N == 1
        printf("0");
    }
    else{                                   // 非循环小数部分
        for (int i = 1;i <= loopP;++i) {
            printf("%d", decimal[i]);
        }
    }
    if (loopP != loopQ) {                   // 循环小数部分
        printf("[");
        for (int i=loopP + 1;i <= loopQ;++i) {
            printf("%d", decimal[i]);
        }
        printf("]");
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    for (int i = 0;i <= 13;++i) {            // print [0, 13]
        CalCycleDiv(i);
    }
    return 0;
}

输出结果——

要求输入的N为正整数，您输入的N=0
1 / 1 == 1.0
1 / 2 == 0.5
1 / 3 == 0.[3]
1 / 4 == 0.25
1 / 5 == 0.2
1 / 6 == 0.1[6]
1 / 7 == 0.[142857]
1 / 8 == 0.125
1 / 9 == 0.[1]
1 / 10 == 0.1
1 / 11 == 0.[09]
1 / 12 == 0.08[3]
1 / 13 == 0.[076923]

当然，你可以把输入参数调得更大，比如输入 CalCycleDiv(100003); ，输出的结果将会长得恐怖，光显示都花了我电脑1秒，复制到CSDN上直接卡了3秒。有兴趣的小伙伴可以自行尝试。

C++实现M/N

$1 / N$ 当然很好实现，而上述计算流程推广到 $M / N$ 上并不困难。C++相对于C语言，引入了函数的多态，这就让我们可以很方便地实现 M/N 和 1/N 的函数重载。此时，我们如果只输入一个参数，就代表计算 $1 / N$ ，输入 $2$ 个参数则代表计算 $M / N$ 。其中我还顺便支持了 $M$ 为负数、 $0$ ， $N$ 为负数的情形。

#include <iostream>

void CalCycleDiv (int N, int M=1) {
    typedef unsigned char uint8;    // 使用uint8表示0~9的数字，用以节省空间

    if (N == 0) {                   // 异常处理
        std::cout << "要求分母N不为0，您输入的N=" << N << std::endl;
        return;
    }

    bool   isNegative = false;          // 如果是负数，那么输入加一个负号 
    int    tmpN       = N;              // 用于显示输出 
    int    tmpM       = M;              // 用于显示输出 
    if ((M < 0 && N > 0) || (M > 0 && N < 0))
        isNegative = true;
    M = (M > 0) ? M : (-M);
    N = (N > 0) ? N : (-N);
        
    int    remainder  = (M % N);        // 初始余数(10^0 mod N) == 1
    uint8 *decimal    = new uint8[N];   // 小数部分
    int   *power      = new int[N];     // power[10^p mod N] == p
    int    len        = 0;              // 当前小数位数
    int    loopP      = 0;              // 循环节范围(loopP, loopQ]
    int    loopQ      = 0;              // 循环节范围(loopP, loopQ]

    for (int i = 0;i < N;++i)           // 初始化power为无效值N
        power[i] = N;

    while (true) {
        decimal[len] = (uint8)(remainder / N);  // 求商数
        remainder = remainder % N;              // 求余数
        if (remainder == 0) {                   // 如果除尽了，必为有限小数
            loopP = loopQ = len;
            break;
        }
        if (power[remainder] != N) {            // 如果10^(len) == 10^(power[remainder]) (mod N)
            loopP = power[remainder];
            loopQ = len;
            break;
        }

        power[remainder] = len;                 // 记录10^(len) mod N == remainder
        ++len;
        remainder *= 10;
    }

    // 显示输出
    std::cout << tmpM << " / " << tmpN << " == ";
    if (isNegative)
        std::cout << "-";
    std::cout << M/N << ".";    // 整数部分
    if (N == 1 || M == 0)                   // 特殊处理N == 1
        std::cout << "0";
    else{                                   // 非循环小数部分
        for (int i = 1;i <= loopP;++i)
            std::cout << (int) decimal[i];
    }
    if (loopP != loopQ) {                   // 循环小数部分
        std::cout << "[";
        for (int i=loopP + 1;i <= loopQ;++i)
            std::cout << (int) decimal[i];
        std::cout << "]";
    }
    std::cout << std::endl;
    
    delete(decimal);    // 释放空间 
    delete(power);
}

int main() {
    CalCycleDiv(13);
    CalCycleDiv(-7, -3);
    CalCycleDiv(7, -1);
    CalCycleDiv(-7, 2);
    return 0;
}

输出结果——

1 / 13 == 0.[076923]
-3 / -7 == 0.[428571]
-1 / 7 == -0.[142857]
2 / -7 == -0.[285714]

C++实现CalCycleDiv类

上面的代码比较丑陋，原因是——明明这个问题可以面向对象的

比如将显示和计算部分分离开；
比如执行完函数后，我想要查看循环节长度等信息，是不是可以通过面向对象的方式暴露出一些接口；
比如上面的函数执行完后，结果将会被销毁，通过面向对象，我们可以更方便地查看结果的内部信息。

使用C++的 class ，我们就能很方便地实现面向对象地对代码进行编程了。我们定义一个 CalCycleDiv 类，用于计算循环除法。

#include <iostream>

class CalCycleDiv{
public:
    typedef unsigned char uint8;        // 使用uint8表示0~9的数字，用以节省空间

    CalCycleDiv(int N, int M=1);        // 构造对象，并执行计算

    void displayAsCyclicDecimal();      // 显示该分数的循环小数形式
    void displayAllCyclicDecimal();     // 显示分子+分母+该分数的循环小数形式
    void displayLoop();                 // 单独显示循环节
    int  getM();                        // 返回m_M
    int  getN();                        // 返回m_N
    int  getP();                        // 返回m_loopP
    int  getQ();                        // 返回m_loopQ
    int  getLoopLength();               // 返回(m_loopQ - m_loopP)，即循环节长度

private:
    int    m_N;             // N
    int    m_M;             // M
    bool   m_isNegative;    // 如果是负数，那么显示时加一个负号 
    uint8 *m_decimal;       // 小数部分
    int    m_loopP;         // 循环节范围(m_loopP, m_loopQ]
    int    m_loopQ;
};

CalCycleDiv::CalCycleDiv (int N, int M)
    : m_N (N)               // m_N = N; m_M = M;
    , m_M (M) {

    try {
	    if (N == 0)                         // 异常处理
            throw -1;
    }
	catch (int errNum) {
		std::cout << "CalCycleDiv的分母N为0，错误！" << std::endl;
	}
    
	// 如果是负数，那么输入加一个负号
    if ((M < 0 && N > 0) || (M > 0 && N < 0))
        m_isNegative = true;
    else
        m_isNegative = false;
    
    M = (M > 0) ? M : (-M);
    N = (N > 0) ? N : (-N);
    
    // 正式开始计算
    int    remainder  = (M % N);        // 初始余数(10^0 mod N) == 1
    m_decimal  = new uint8[N];   // 小数部分
    int   *power      = new int[N];     // power[10^p mod N] == p
    int    len        = 0;              // 当前小数位数
    m_loopP    = 0;
    m_loopQ    = 0;

    for (int i = 0;i < N;++i)           // 初始化power为无效值N
        power[i] = N;
    
    //std::cout << remainder << " " << len << " " << m_isNegative << " " << M << " " << N << std::endl;

    while (true) {
        m_decimal[len] = (uint8)(remainder / N);    // 求商数
        remainder = remainder % N;          // 求余数
        if (remainder == 0) {               // 如果除尽了，必为有限小数
            m_loopP = m_loopQ = len;
            break;
        }
        if (power[remainder] != N) {        // 如果10^(len) == 10^(power[remainder]) (mod N)
            m_loopP = power[remainder];
            m_loopQ = len;
            break;
        }

        power[remainder] = len;             // 记录10^(len) mod N == remainder
        ++len;
        remainder *= 10;
    }

    delete(power);                      // 释放空间 
}

// 显示该分数的循环小数形式
void CalCycleDiv::displayAsCyclicDecimal () {
    if (m_isNegative)                       // 负号显示
        std::cout << "-";
    
    std::cout << m_M/m_N << ".";            // 整数部分
    
    if (m_N == 1 || m_M == 0)               // 特殊处理N == 1或者M == 0
        std::cout << "0";
    else{                                   // 非循环小数部分
        for (int i = 1;i <= m_loopP;++i)
            std::cout << (int) m_decimal[i];
    }

    if (m_loopP != m_loopQ) {                   // 循环小数部分
        std::cout << "[";
        for (int i = m_loopP + 1;i <= m_loopQ;++i)
            std::cout << (int) m_decimal[i];
        std::cout << "]";
    }
    std::cout << std::endl;
}

// 显示该分数的循环小数形式
void CalCycleDiv::displayAllCyclicDecimal () {
    std::cout << m_M << " / " << m_N << " == ";
    CalCycleDiv:displayAsCyclicDecimal();
}

// 单独显示循环节
void CalCycleDiv::displayLoop () {
    std::cout << "[";
    if (m_loopP == m_loopQ)                 // 如果不循环就显示0
        std::cout << "0" << std::endl;
    else {
        for (int i = m_loopP + 1;i <= m_loopQ;++i)
            std::cout << (int) m_decimal[i];
    }
    std::cout << "]" << std::endl;
}

int CalCycleDiv::getM () {
    return m_M;
}

int CalCycleDiv::getN () {
    return m_N;
}

// 返回m_loopP
int CalCycleDiv::getP () {
    return m_loopP;
}

// 返回m_loopQ
int CalCycleDiv::getQ () {
    return m_loopQ;
}

// 返回(m_loopQ - m_loopP)，即循环节长度
int CalCycleDiv::getLoopLength () {
    return m_loopQ - m_loopP;
}

int main() {
    CalCycleDiv cyc1(13);
    CalCycleDiv cyc2(-7, -3);
    CalCycleDiv cyc3(7, -1);
    CalCycleDiv cyc4(7, -1);
    CalCycleDiv cyc5(-7, 2);
    CalCycleDiv cyc6(100003);
    CalCycleDiv cyc7(10000003);
    CalCycleDiv cyc8(100000003);
    
    cyc1.displayAllCyclicDecimal();
    cyc2.displayAllCyclicDecimal();
    cyc3.displayAllCyclicDecimal();
    cyc4.displayAllCyclicDecimal();
    cyc5.displayAllCyclicDecimal();
    
    std::cout << cyc5.getM() << " / " << cyc5.getN() << "的循环节长度为" << cyc5.getLoopLength() << std::endl;
    std::cout << cyc6.getM() << " / " << cyc6.getN() << "的循环节长度为" << cyc6.getLoopLength() << std::endl;
    std::cout << cyc7.getM() << " / " << cyc7.getN() << "的循环节长度为" << cyc7.getLoopLength() << std::endl;
    std::cout << cyc8.getM() << " / " << cyc8.getN() << "的循环节长度为" << cyc8.getLoopLength() << std::endl;

    return 0;
}

输出代码——

1 / 13 == 0.[076923]
-3 / -7 == 0.[428571]
-1 / 7 == -0.[142857]
-1 / 7 == -0.[142857]
2 / -7 == -0.[285714]
2 / -7的循环节长度为6
1 / 100003的循环节长度为50001
1 / 10000003的循环节长度为769230
1 / 100000003的循环节长度为693360

好家伙，我们的代码直接可以计算出千万级别输入（10000003）的除法循环节长度。至于为啥我们不显示出来？当然是因为这里的空白太小了，写不下啦(x)

下集预告&下下集预告

对于这个代码，其实我们还不够满意。因为只能计算千万级别的输入显然不够coooooool！我们希望挑战一个高难度任务，让我们能计算 1000000007 这种十亿级别的输入。不过我们会遇到一大困难——结果的长度有 1000000006 位，而我们代码的空间复杂度近似于 $5 N$ ，常数 $5$ 十分大。这使得我们在计算 1000000007 这种十亿级别的输入时，内存会被直接吃完。

下下篇文章中，我们将通过近世代数的理论，将代码的空间复杂度优化到 $N$ （事实上，可以优化到 $N / 2$ ，不过这样写起来麻烦些）。为了实现这样的优化，我们需要编写一个质因数分解的类，作为中间的辅助类，而这将放到下篇文章中进行。