整数划分（C语言）

参考博客：https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/11486992.html

思路整理

n=m1+m2+…+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为q(n,m)；

当n=6时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=6）

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1}。因此 q(1,m) =1 。
当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1}。因此 q(n,1) =1。;
当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当q(n,n)，即q(n,m)=q(n,n)，m>=n。
但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
(1) 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为q(n-m, m)。
(2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1)。因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1)。
当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(1) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1)。

代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXSIZE 5
int mark[200];
int q2(int n,int m)
{
    if(n==1|| m==1) return 1;
    if(m==n)
    {
        return 1+q2(n,n-1);
    }
    if(m>n) return q2(n,n);
    if(m<n) return q2(n,m-1)+q2(n-m,m);
}


//输出划分的所有情况
void print(int sum, int k, int prio)
{
    if (sum > MAXSIZE)
        return;
    if (sum == MAXSIZE)
    {
        int i;
        for (i = 0; i < k - 1; i++)
        {
            printf("%d+",mark[i]);
        }
        printf("%d\n",mark[i]);
    }
    else {
        for (int j = prio; j > 0; j--)
        {
            mark[k] = j;
            sum += j;
            print(sum, k + 1, j);//递归调用
            sum -= j;//恢复现场
        }
    }
}
int main()
{
    int i;
    int num = q2(MAXSIZE,MAXSIZE);
    printf("%d有%d种分法：\n",MAXSIZE,num);
    print(0,0,MAXSIZE);
    return 0;
}