[C++知识库]Codeforces Round #779 (Div. 2) E. Gojou and Matrix Game

E. Gojou and Matrix Game

这里我们定义一次（先手，后手）为一轮游戏，因为进行 $10^{100}$ 次，所以可以进行整数轮游戏。

首先我们可以发现如果先手站在最大值上直接就赢了，因为后手无论走哪个点，先手又可以回来取最大点，所以每一轮先手都可以比后手优，所以必胜。

然后我们考虑先手初始在非最大值的情况，我们可以发现，如果先手站在非最大值上，假设这个值是 $v$ ，那么后手下一步必须走到 $>v$ 的点，为何呢，如果后手不这么做，选了一个 $<v$ 的点，先手下一次又可以选回 $v$ ，本身我后手第一轮我就亏了，然后还回到了与上一轮一样的情况（先手选了 $v$ ），说白了我白亏一轮，所以后手不可能白亏，所以他必定会选 $>v$ 的点。

那么我们发现，我们可以按 $v$ 值倒序遍历，递推每个点的答案。这里我们设 $f[x][y]$ 表示初始站在 $(x,y)$ 点的胜败态， $f[x][y]=0$ 为败， $f[x][y]=1$ 为胜。

那么我们已知 $v[x][y]$ 为 $max$ 时， $f[x][y]=1$

假设当前遍历到 $(x,y)$ ，那么后手只有到达点 $(x_1,y_1)$ 满足 $v[x_1][y_1]>v[x][y]$ 且 $f[x_1][y_1]=1$ 才能赢，因为我们是倒序遍历，所以比 $v[x][y]$ 值大的点，且是胜利态的点 $(x_1,y_1)$ 我们是已经得到了的，那么 $(x,y)$ 能走到 $(x_1,y_1)$ 的条件是 ：
$$|x?x_1|+|y?y_1|>k$$
那么只要存在一个满足上述条件的点 $(x_1,y_1)$ 后手即可获胜，这里我们可以反过来求，如果所有 $(x_1,y_1)$ 都满足：
$$|x?x_1|+|y?y_1|\le k$$
那么即后手没有机会赢，先手必胜，反之先手必败。

那么我们将式子做一个转换：
$$|x?x_1|+|y?y_1|=max(|(x+y)?(x_1+y_1)|,|(x?y)?(x_1?y_1)|)$$

这里粗略的证明一下上述公式， $|x?x_1|+|y?y_1|$ 把绝对值拆开只可能产生四个式子：
$$(x+y)?(x_1+y_1)$$
$$(x_1+y_1)?(x+y)$$
$$(x?y)?(x_1?y_1)$$
$$(x_1?y_1)?(x?y)$$

这里设 $①=|x?x_1|$ ， $②=|y?y_1|$ ， $|x?x_1|+|y?y_1|$ 正确的答案应该是 $①+②$ ，而在上述把绝对值拆开的四个等式中倘若不是正确的值，则只可能是 $①$ 或 $②$ 取了负号，那么答案一定会变小，所以正确的值一定是上述四个式子中最大的一个。那么再将上述四个式子两两合并写一下就是：

$$|x?x_1|+|y?y_1|=max(|(x+y)?(x_1+y_1)|,|(x?y)?(x_1?y_1)|)$$
证毕

因此我们最终可以得到：
$$|x?x_1|+|y?y_1|\le k?max(|(x+y)?(x_1+y_1)|,|(x?y)?(x_1?y_1)|)\le k$$
所以我们只要维护 $(x_1+y_1)$ 和 $(x_1?y_1)$ 分别的最大和最小值，这样我们就可以知道上述式子是否成立，若成立则 $f[x][y]=0$ ，否则 $f[x][y]=1$ 。若 $f[x][y]=1$ 则需要更新最小和最大值。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e3 + 10;

struct node {
    int x;
    int y;
    int v;
    bool operator < (const node &t) {
        return v > t.v;
    }
};
int n, k;
bool f[N][N];
vector<node> a;

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            int v; scanf("%d", &v);
            a.push_back({i, j, v});
        }
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    f[a[0].x][a[0].y] = 1;
    int mn_xaddy, mn_xsuby, mx_xaddy, mx_xsuby;
    mn_xaddy = mx_xaddy = a[0].x + a[0].y;
    mn_xsuby = mx_xsuby = a[0].x - a[0].y;
    for (int i = 1; i < n * n; ++i) {
        int x = a[i].x, y = a[i].y;
        // if (a[i].v == 10) {
        //     cout << max({abs(x+y-mn_xaddy), abs(x+y-mx_xaddy), abs(x-y-mn_xsuby), abs(x-y-mx_xsuby)}) << endl;
        // }
        if (max({abs(x+y-mn_xaddy), abs(x+y-mx_xaddy), abs(x-y-mn_xsuby), abs(x-y-mx_xsuby)}) <= k) {
            f[x][y] = 1;
            mn_xaddy = min(mn_xaddy, x+y);
            mx_xaddy = max(mx_xaddy, x+y);
            mn_xsuby = min(mn_xsuby, x-y);
            mx_xsuby = max(mx_xsuby, x-y);
        }
        else {
            f[x][y] = 0;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            printf("%c", f[i][j] == 1 ? 'M' : 'G');
        }
        puts("");
    }
}