[C++知识库]0x08 扩展GCD和同余

0x08 扩展GCD 和 同余

0x08 目录

• 7.1 同余
  ??7.1.1 同余定理
  ??7.1.2 例题举例

• 7.2 GCD 最大公因数
  ??7.2.1 辗转相除法
  ??7.2.2 更相减损法
  ??7.2.3 LCM 最小公倍数

• 7.3 扩展 GCD · 贝祖定理

7.1 同余

同余 是用来解决什么问题的呢 ？

当 问题是一个 很大的运算，结果 也很大。根本 没办法 用 基本类型取存储。但是呢，它 却告诉你 这个结果是要 对 m 取余的。那么 我们就完全 不需要写 大数乘法 这样臃肿的 代码。我们可以 采用 同余 去解决这个问题。

7.1.1 同余定理

• (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
• (a - b) mod n = ((a mod n) - (b mod n)) mod n
• (a × b) mod n = ((a mod n) × (b mod n)) mod n

除法 取余的话，就要 用 逆元。

7.1.2 例题举例

1. 双阶乘 的最后五位数

双阶乘的定义是：提供给你个 n，那么 n!! 就是 从 1 到 n 跟 n 有共同就性质的数的 乘积结果。

2021!! = 2021 * 2019 * 2017 …… * 1

那么 问 2021!! 的 最后五位数是什么 ？

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include <iostream>

using namespace std;

// 此题 考的就是 大数乘法，但实际我们 可以用 java 的bigInteger 来解决这个问题

// 但是如果学过 一点儿 数论的话，其实这道题 很好解决。

// 无论怎么相乘，你的 最后那几位 肯定  跟前面没啥关系吧。所以每次相乘的结果 取余数 再进行相乘 即可。

int main15(void) {
	int ans = 2021;
	for (int i = 2019; i >= 1; i -= 2) {
		ans = (ans * i) % 100000;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

答案是：59375

这道题 就利用了 同余，首先你要知道 同余这个结论。然后再去 分析这道题，就会感到 很简单了。

7.2 GCD 最大公因数

求最大公约数、最小公倍数、素数、矩阵的加减乘除、闰年和平年、快速幂 、数列 …… 等等 这些 都是 最基本的 数学问题。是 我们在解决 一系列 算法题时 的基础数学常识。

7.2.1 辗转相除法

辗转相除法 时 欧几里得 发明出来 求解 两数 的最大公因数的数学方法。

其操作步骤是：a % b = c 然后 让 a = b，b = c 一直这样进行下去，直到 b == 0 的时候，我们 才会停止下来。然后 此时 a 的值 其实就是 两数的 最大公因数。

如下算法：有两数 a 和 b，前提是 a 必须 大于 b ！！！

1. 递归写法

int gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

很不建议 用 递归的写法，因为 递归 很容易 栈溢出。

2. 迭代写法

int main(){
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	if (b > a) {
		int temp = a;
		a = b;
		b = temp;
	}
	while (b != 0) {
		int temp = a;
		a = b;
		b = temp % b;
	}

	cout << a << endl;
	return 0;
}

这种 正常的 迭代 写法，反而 是最好的。我们只需要 把 这种方法 封装到 一个 函数里就行了。

7.2.2 更相减损法

更相减损法

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

从上述这个过程来看，就是个模拟。我们可以用 代码写出来！

#include <iostream>

using namespace std;

int main(void) {
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	if (b > a) {
		int temp = a;
		a = b;
		b = temp;
	}
	while (a % 2 == 0 && b % 2 == 0) {
		a /= 2;
		b /= 2;
	}
	int val = a - b;
	while (val != b) {
		if (b > val) {
			a = b;
			b = val;
		}
		else {
			a = val;
		}
		val = a - b;
	}
	cout << val << endl;
	return 0;
}

7.2.3 最小公倍数

即 最小公倍数 = a * b / 最大公因数

7.3 扩展 GCD · 贝祖定理

GCD 求最大公因数的 这个方法，其实 还可以运用 在 求解 ax + by = c

贝祖定理：对任何整数 a、b 和 它们的最大公因数 c，关于 未知数 x 和 y 的线性不定方程（称为贝祖等式）：若 a、b 是 整数，且 gcd(a,b) = c，那么 对于 任意 的 整数 x,y,ax+by 都一定是 d 的倍数，特别地，一定存在 整数 x,y 使得 ax+by = c 成立。

也就是说 我们提供了 a、b 两个 数，那么肯定会有一个 c 是 gcd(a,b) 的倍数。并且 也可以 求出 整数 x，y 。

你还需要知道的是：取余算法是这样的式子

那么 我们 根据 欧几里得算法 和 贝祖定理 就可以推导出 下面的 等式。

因为 x 和 y 的 系数 发生了变化，所以 当前的 x 和 y 肯定 也不是我们要求的 x 和 y 了，我们就记作它们为 x’ 和 y’

x = y'

y = x' - (a/b) * y' 在 c 语言里 a/b 取的就是 小于 a/b 的最大值整数。
我们已经得到了这样的等式，那么 这里的 x’ 和 y’ 又要怎么 去 求呢 ？？

其实 很简单，由欧几里得 gcd 可知，a = b，b = a % b 也就是说 系数是会不断的 变化的，但 变化到 a = 最大公因数 b = 0 的时候 就会停下来，而且 无论是 哪两个 a和b 只要是 ax+by = gcd(a,b) * k 这样的式子的话，就肯定 满足。所以 这可以是 求解 第一个 x’ 和 y’ 的 通用方法。

那么我们来模拟 一下 整体的过程。

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b == 0){
		x = 1;// 这个就是 x'
		y = 0;// 这个就是 y'
		return a; // 返回最大公因数
	}
	int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);// 肯定会获取到 x' 和 y'
	int temp = x;// 把x' 存起来
	x = y;// 即 x = y'
	y = temp - (a/b)*x;
	return ans;
}

那么 有人的会问 这是在干嘛呢？ 其实 我自己也不知道 是在干嘛。

因为 确实 是 还没有刷到 利用 贝祖定理 的 题目。平常 遇到的 也就是 gcd() 最大公因数 和 最小公倍数。而且 遇到的还很少。所以这个 只作为了解吧。