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描述
把一个集A(本题中的集合均不含重复元素)分成若干个非空子集，使得A中每个元素属于且仅属于一个子集，那么这些子集构成的集合称为A的一个划分。比如A={1，2，3}，那么{ {1}，{2 ，3} }以及{ {1}，{2}，{3} } 都是A的划分。现在给定一个整数n，我们希望知道包含n个元素的集合有多少不同的划分。当n=3的时候，仍然考虑集合{1，2，3}，它的所有划分如下
{ {1} ， {2} ， {3} }
{ {1 ， 2} ， {3} }
{ {1 ， 3} ， {2} }
{ {1} ， {2 ， 3} }
{ {1 ， 2 ， 3} }
只有5种，但随n的增加，划分方法的个数会以指数速度增加。比如n=4的时候，就有15种方法，考虑集合{1，2，3，4}，划分方式如下
{ {1}，{2}，{3}，{4}}
{{1}，{2}，{3，4}}
{{1，2}，{3}，{4}}
{{1，3}，{2}，{4}}
{{1，4}，{2}，{3}}
{{1}，{2，3}，{4}}
{{1}，{3}，{2，4}}
{{1，2}，{3，4}}
{{1，3}，{2，4}}
{{1，4}，{2，3}}
{{1}，{2，3，4}}
{{2}，{1，3，4}}
{{3}，{1，2，4}}
{{4}，{1，2，3}}
{{1，2，3，4}}
当n>15的时候，划分方法数将超过32位整数所能表示的范围，我们希望你的程序能计算出n<=15的时候，包含n个元素的集合的划分方法的个数
输入
一个整数n（0<=n<=15，n=0的时候认为有一种划分方法）
输出
包含n个不同元素的集合的划分方法的个数
样例输入
3
15
样例输出
5
1382958545
提示
递归公式,
设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
F(n,m) = 1, where n=0, n=m, n=1, or m=1
F(n,m) = 0, where n<m
否则
F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
例如:
考虑3个元素的集合，可划分为
① 1个子集的集合：{{1，2，3}}
② 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}
③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}
∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;
如果要求F(4,2)该怎么办呢？
A.往①里添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}
B.往②里的任意一个子集添一个4，得到
{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}
∴F(4,2)=F(3,1)+2F(3,2)＝1+23＝7
来源
cs10107 C++ Final Exam
问题链接：Bailian3253 集合的划分
问题简述：（略）
问题分析：递归组合问题，用递归函数来解决。如果需要加速，可以使用记忆化递归来实现。
程序说明：（略）
参考链接：（略）
题记：（略）
AC的C++语言程序如下：
/* Bailian3253 集合的划分 */
#include <stdio.h>
long long fun(int n,int m)
{
if (n < m) return 0;
else if (n == 0 || n == m || n == 1 || m == 1) return 1;
else return fun(n - 1, m - 1) + m * fun(n - 1, m);
}
int main()
{
int n;
while (scanf("%d", &n)!=EOF) {
long long ans = 0;
if (n == 0)
ans = 1;
else
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans += fun(n, i);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
