这是在CSDN上的第一篇文章，本来准备发在知乎上的，不过想了想知乎还是放理论性的文章吧（理论带师），先在CSDN上放篇文章试试水。
作为学了近两个月的密码学大一弱鸡（现在应该升级为大二弱鸡了），第二次写挑战题，没想到给我写出来了。题目来源于CTFshow上最新的一道挑战题，昨天刚出的本周挑战题。昨天yj巨佬叫我来写这道题，我看了两分钟就知道该怎么去做了（小吹一手），佩尔方程直接干就完事了，事实证明也确实是这么个东西，而且还是最简单的一类佩尔方程，佩尔方程详见等风（本人）的知乎。要解佩尔方程，关键就在于找到它的一组基本解，如果d比较小的时候暴力去解就行了，以前解过的佩尔方程d都比较小，而昨天的这道题目d达到了39352。由于我的错误判断，我错误的认为这个d暴力去找基本解也用不了太久（实际原因其实是我不想花时间写二次根式的连分数展开计算的脚本，当时吴哥找我打球doge），然后写了个脚本暴力去找。本以为最多一个小时就能跑完，结果事实是我从晚上八点跑到第二天早上十点起床还没跑出来（啊这），于是丢掉了拿一血的机会（本来一血十拿九稳），无奈只好写了个连分数展开的脚本去找基本解了。
题目如下：
from door_sum import door_sum
# door_sum(l, d, n): calculate the sum of an arithmetic sequence
# with `l` being the first number, `d` being the common difference,
# and `n` being the number of terms
# Sanity check:
assert door_sum(1, 1, 100) == 5050
WELCOME = '''HELLO!
Open the door, and I'll show you my flag!
'''
if __name__ == '__main__':
while True:
try:
print(WELCOME)
n_1 = int(input('n_1 = '))
n_2 = int(input('n_2 = '))
if (n_1 > 2 ** 0x1337 and n_2 > 2 ** 0x1337 and door_sum(1, 1, n_1) == 0x1337 * door_sum(1, 2, n_2)):
print('OKOK! YOU GOT THE FLAG:')
with open('flag.txt') as f:
print(f.read())
else:
print('Uh-Oh, the door is not opened...')
except Exception:
print('NONONO!')
图一为题目描述，图二为task.py里面的内容，首先我们一看这个题目需要连接虚拟机上的端口，但这不是重点，task里面的东西才是重点。
分析如下：door_sum函数给了介绍，是求等差数列的数项和，其中l,d,n参数分别代表首项，公差，项数，然后题目要去找一组n1,n2满足n1>2**0x1337，且n2>2**0x1337，并且还要求door_sum(1,1,n1)==0x1337*door_sum(1,2,n2)，由等差数列求和公式，不难得到：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
两边同乘4并配方得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
令2n1+1=x,n2=y，得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
标准的佩尔方程
为了找它的基本解，首先我暴力去跑了，跑了14个小时都没出（麻了），暴力脚本如下：
from gmpy2 import *
i=39351
while 1:
if (i*i-1)%39352==0:
t=(i*i-1)//39352
s=isqrt(t)
if s*s==t:
print(s)
print(i)
break
i+=39352与此同时还有yj的电脑去跑：
from gmpy2 import *
i=39353
while 1:
if (i*i-1)%39352==0:
t=(i*i-1)//39352
s=isqrt(t)
if s*s==t:
print(s)
print(i)
break
i+=39352同时去跑，因为有，所以x在模d的剩余系下有1和-1两个解。
事实证明这还是不行，所以今天还是去写了连分数求解基本解的脚本，脚本如下（Python还是爽）：
from gmpy2 import *
def Cal_CF(List):
List.reverse()
fenmu=0
fenzi=1
for i in List:
fenmu,fenzi=fenzi,i*fenzi+fenmu
return fenmu,fenzi
t=39352
m=isqrt(t)
x=t**(0.5)
a=[]
a.append(m)
b=m
c=1
while a[-1]!=2*a[0]:
c=(t-b*b)//c
tmp=(x+b)/c
a.append(int(tmp))
b=a[-1]*c-b
print(len(a)-1)
print(a)
a=a[:-1]
fenmu,fenzi=Cal_CF(a)
print(fenmu)
print(fenzi)运行结果如下：
?于是得到x0=2662019309411216232806345449321879270495478346383,
y0=13419236180444562206941613278603693768762410762
下面的步骤就随心所欲了，严谨的话用矩阵快速幂跑跑，像我这种比较懒，不想写快速幂的菜鸡就递推吧，不把所有的项都考虑，只要找到一个就OK，求得一组满足条件的解：
x=86833700586376516456658084395568955558341195849330843437290243943433685582766187840375858252210187345259800549272487238934577083568752437187617662098181754495075281250131821716251733817147332846402906297424592418285902019756902324672317442322524112732994577163267082831296415472729766517925315817401314480929828509601608585744532858031984268463110633085136387648024814370626718954301394545784438898206086544081834091734286315786256695053535379374673806866244693343668079563272494972269536714511170482023517803868922152562345195454956008001647260527245922933196686086999500184505430243498535060316292085767447852616873123329289774398435954269820997449955307494326829275252383025841325816317692892824162659577350508400045934490431632235190460549786918710374565221592688808116023820553436665037362924366410029576788433346469810240393555723980886010788885622963733966368850968194302918071030482441523960813917820046688022678735104317197604897348123674277644014182770875920834695400612296311924763644886263620917325164182350649646441081380911846495072251331880092467404679199814209399642000934350331668435845236846475332527206538251403295936486101218504731986957606951756215164378679804203757336905988601971816872742685933232282803376534048365300554095535810116951870810327994361864819207035544826639136297347820463121132858680322402698795165424804679705167190793355415172852624711118005382368778393373331664343235550614095357385626663082879314920059902311931327057404579235637413326436611289952165300767084159715742615846668676510896992541470470086537258582654977
y=437728581633888083858367708039402756852498450186346504287722745899153032175779500808848091558764833771169119679115212554825697413030945023488837698382386967940864893879412228700594064548210078856172139547833235593433623616688362493444913792921648804702573282835418230296000408139179746088624888318482906160498108665924314585699958049437764499638149841476435645577101983286191278391160407094500616138025000175456844226099999033374234681531858016611100810921938392423128216297046747192551275204072364252078277571581274905065508718492837730442584268519681924118338446004556316836129940397748419559881614152973377746555141808764702747159920326844368385784704080323477358881772508871339145032544583444571293688936609843751507863552892576772497249081692913534461081970619431934383086765847740311292143030313634923461678760283790360347600671319569610127023812773184017905938569649904698501326523072573744306454272283590816590801002940408812876020068645981185363631818918606191899175312518465368170838189037599964523441562176102935185563310228042500243230933439128271816229498171417596704624509953680212342916187683448393839058416988090110870447197681608420719687753758226190932683407130755479603553467981551844338325495066313986660337619634949075523130805868399920303791099750919777263143810170383413035808597258448621121177970762877122582564518596064644675361859064651795644608669190087229267761249645779050067172167506433696941258142174063657680752820232826728374450141823859534725454998696358188243228630624847723887424493071837795193327664135694772817931788992
然后n1=(x-1)//2,n2=y，把这两个值输入端口，得到实时更新的flag:
完美谢幕 。