[Python知识库]python数据结构之算法分析

🇨🇳奥运会看着真热血呀，但也不能忘记学习！在python的数据结构的章节中，我们上次学习到了python面向对象的思想，即我们想用程序来实现一个东西，我们需是用对象的特征来描述我们想构建的对象。感兴趣的小伙伴可以查看下面内容👇:

• python数据类型: python数据结构之数据类型.
• python的输入输出: python数据结构之输入输出、控制和异常.
• python数据结构之面向对象: python数据结构之面向对象.

🍉今天我们来学习的内容是面试题中都避免不小了的问题，就是算法分析了，什么是算法分析，算法分析是用来分析一个算法的好坏的，大家完成一件事情写不一样的算法，就需要算法分析来评判算法的好坏，最常见的就是程序的复杂的O(n)。

1.算法分析的定义

有这样一个问题：当两个看上去不同的程序 解决同一个问题时，会有优劣之分么？答案是肯定的。算法分析关心的是基于所使用的计算资源比较算法。我们说甲算法比乙算法好，依据是甲算法有更高的资源利用率或使用更少的资源。从这个角度来看，上面两个函数其实差不多，它们本质上都利用同一个算法解决累加问题。

计算资源究竟指什么？思考这个问题很重要。有两种思考方式。

• 一是考虑算法在解决问题时 要占用的空间或内存。解决方案所需的空间总量一般由问题实例本身决定，但算法往往也会有特定的空间需求。
• 二是根据算法执行所需的时间进行分析和比较。这个指标有时称作算法的执行 时间或运行时间。要 衡 量 sumOfN 函数的执行时间，一个方法就是做基准分析。也就是说，我们会记录程序计算出结果所消耗的实际时间。在 Python 中，我们记录下函数就所处系统而言的开始时间和结束时间。time 模块中有一个 time 函数，它会以秒为单位返回自指定时间点起到当前的系统时钟时间。在首尾各调用一次这个函数，计算差值，就可以得到以秒为单位的执行时间。

举个例子：我们需要求解前n个数之和，通过计算所需时间来评判效率好坏。(这里使用time函数,并计算5次来看看大致需要多少时间)

• 第一种方法：循环方案

import time
def sumOfN2(n): 
        start=time.time()
        thesum=0
        for i in range(1,n+1):
            thesum=thesum+i
        end=time.time()
        return thesum,end-start
#循环5次        
for i in range(5):
     print("Sum is %d required %10.7f seconds" % sumOfN2(10000)) 

结果如下：

• 第二种方法：公式方法

#直接利用求和公式
def sumOfN3(n): 
        start=time.time()
        thesum=(1+n)*n/2
        end=time.time()
        return thesum,end-start
for i in range(5):
     print("Sum is %d required %10.7f seconds" % sumOfN3(10000)) 

结果如下：

直觉上，循环方案看上去工作量更大，因为有些步骤重复。这好像是耗时更久的原因。而且，循环方案的耗时会随着 n 一起增长。然而，这里有个问题。如果在另一台计算机上运行这个函数，或用另一种编程语言来实现，很可能会得到不同的结果。如果计算机再旧些，sumOfN3 的执行时间甚至更长。
我们需要更好的方式来描述算法的执行时间。基准测试计算的是执行算法的实际时间。 这不是一个有用的指标，因为它依赖于特定的计算机、程序、时间、编译器与编程语言。我们希 望找到一个独立于程序或计算机的指标。这样的指标在评价算法方面会更有用，可以用来比较不同实现下的算法。

2. 大O记法

试图摆脱程序或计算机的影响而描述算法的效率时，量化算法的操作或步骤很重要。如果将每一步看成基本计算单位，那么可以将算法的执行时间描述成解决问题所需的步骤数。确定合适的基本计算单位很复杂，也依赖于算法的实现。
对于累加算法，计算总和所用的赋值语句的数目就是一个很好的基本计算单位。在 sumOfN 函数中，赋值语句数是1（thesum=0）加上n（thesum=thesum+i），可以将其定义为函数$T$，令$T(n)=1+n$。参数n常被常称为问题规模。，可以将函数解读为“当问题规模为 n 时，解决问题所需的时间为$T(n)$，即需要1+n步。
随着计算机科学家的深入研究，他们发现，精确的步骤数中并没有$T(n)$函数中起决定作用的部分重要。例如:$T(n)=5n^3+3n^2+1$,随着问题规模的增长，$5n^3$才是最重要的部分。于是就诞生了数量级也叫做大O记法，记作$O(f(x))$,他提供了步骤数的一个有用的近似方法。假设某算法的步骤数是$T(n)=5n^3+3n^2+1$，则它的数量级是$O(n^3)$.
这里为了让大家知道一些函数的增长速度，我决定将一些函数的列举出来。


例：计算如下程序的步骤数，和数量级大O

a = 5
b = 6
c = 10
for i in range(n): 
    for j in range(n): 
        x = i * i 
        y = j * j 
        z = i * j 
for k in range(n): 
    w = a * k + 45  
    v = b * b
d = 33

这段程序的赋值次数为$T(n)=3+3n^2+2n+1$,大O记法为$O(n^2)$，大家可以自己算一下。

3. 不同算法的大O记法

这里我们采用不同的算法实现一个经典的异序词检测问，所谓异序词，就是组成单词的字母一样，只是顺序不同，例如heart和earth，python和typhon。为了简化问题，我们假设要检验的两个单词字符串的长度已经一样长。

3.1 清点法

该方法主要是清点第 1 个字符串的每个字符，看看它们是否都出现在第 2 个字符串中。如果是，那么两个字符串必然是异序词。清点是通过用 Python 中的特殊值 None 取代字符来实现的。但是，因为 Python 中的字符串是不可修改的，所以先要将第 2 个字符串转换成列表。在字符列表中检查第 1 个字符串中的每个字符，如果找到了，就替换掉。

def anagramSolution1(s1, s2):
    alist = list(s2)
    pos1=0
    stillOK = True
    while pos1 < len(s1) and stillOK:
          pos2 = 0
          found = False
          while pos2 < len(alist) and not found:
                if s1[pos1] == alist[pos2]:
                   found = True
                else:
                   pos2 = pos2 + 1
          if found:
                alist[pos2] = None
          else:
                stillOK = False
          pos1 = pos1 + 1
    return stillOK

来分析这个算法。注意，对于 s1 中的 n 个字符，检查每一个时都要遍历 s2 中的 n 个字符。 要匹配 s1 中的一个字符，列表中的 n 个位置都要被访问一次。因此，访问次数就成了从 1 到 n 的整数之和。这可以用以下公式来表示。

因此，该方法的时间复杂度是$O(n^2)$

3.2 排序法

尽管 s1 与 s2 是不同的字符串，但只要由相同的字符构成，它们就是异序词。基于这一点， 可以采用另一个方案。如果按照字母表顺序给字符排序，异序词得到的结果将是同一个字符串。

def anagramSolution2(s1, s2):
       alist1 = list(s1)
       alist2 = list(s2)
       alist1.sort()
       alist2.sort()
       pos=0
       matches = True
       while pos < len(s1) and matches:
             if alist1[pos] == alist2[pos]:
                pos = pos + 1
             else:
                matches = False
      return matches

乍看之下，你可能会认为这个算法的时间复杂度是$O(n)$，因为在排序之后只需要遍历一次就可以比较 n 个字符。但是，调用两次 sort 方法不是没有代价。我们在后面会看到，排序的时 间复杂度基本上是$O(n2)$或 $O(nlogn)$ ，所以排序操作起主导作用。也就是说，该算法和排序过程的数量级相同。

3.3 蛮力法

用蛮力解决问题的方法基本上就是穷尽所有的可能。就异序词检测问题而言，可以用 s1 中 的字符生成所有可能的字符串，看看 s2 是否在其中。但这个方法有个难处。用 s1 中的字符生 成所有可能的字符串时，第 1 个字符有 n 种可能，第 2 个字符有 n-1 种可能，第 3 个字符有 n-2 种可能，依此类推。字符串的总数是$n?(n?1)?(n?2)?......?3?2?1$,即为$n!$也许有些字符串会重复，但程序无法预见，所以肯定会生成$n!$个字符串。
当 n 较大时， n! 增长得比2n还要快。实际上，如果 s1 有20个字符，那么字符串的个数就 是 20!= 2432902008176640000 。假设每秒处理一个，处理完整个列表要花 77146816596 年。 这可不是个好方案。

3.4 计数法

最后一个方案基于这样一个事实:两个异序词有同样数目的 a、同样数目的 b、同样数目的 c，等等。要判断两个字符串是否为异序词，先数一下每个字符出现的次数。因为字符可能有 26 种，所以使用 26 个计数器，对应每个字符。每遇到一个字符，就将对应的计数器加 1。最后， 如果两个计数器列表相同，那么两个字符串肯定是异序词。

def anagramSolution4(s1, s2):
       c1=[0]*26
       c2=[0]*26

       for i in range(len(s1)):
           pos = ord(s1[i]) - ord('a')
           c1[pos] = c1[pos] + 1

       for i in range(len(s2)):
          pos = ord(s2[i]) - ord('a')
          c2[pos] = c2[pos] + 1
       j=0
       stillOK = True
       while j < 26 and stillOK:
             if c1[j] == c2[j]:
                j=j+1
             else:
                stillOK = False
       return stillOK

这个方案也有循环。但不同于方案 1，这个方案的循环没有嵌套。前两个计数循环都是 n 阶 的。第 3 个循环比较两个列表，由于可能有 26 种字符，因此会循环 26 次。全部加起来，得到总步骤数 T (n) =2n - 26 ，即 O(n) 。我们找到了解决异序词检测问题的线性阶算法。

4. 列表和字典操作的复杂度

4.1 列表

4.2 字典