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目录
1.?一元n次非线性方程
1.1?非线性函数
线性函数是一次函数的别称，则非线性函数即函数图像不是一条直线的函数。
非线性函数包括指数函数、幂函数、对数函数、多项式函数等等基本初等函数以及他们组成的复合函数
1.2 非线性函数案例
?y = f(x) = a3*x^3?+ a2*x^2?+? a0?
另a3?= 1， a2=-1， a0=-1；得到:
?
1.3 非线性函数的几何图形
2.? 导数与解析法求导数
2.1 导数的源头和初心
在现实中，经常需要求函数的最大值、最小值、变速运动的瞬时速度，函数的切线等问题，是导数发现的源头与初心。
（1）瞬时速度
（2）切线与斜率
?
?
?
（3）函数求极值
?
上述三个问题的本质，都与一个非常基础的概念相关，就是函数的导数！！！
?导数也是深度学习领域，求损失函数最小值中的一个基础性的概念，梯度下降法的基础就是导数。
2.2?什么导数
?导数也称为微分！！！
2.3?导函数
以x为自变量，以函数f(x)在x处的导数值为因变量y，而构成的函数为x的导函数，记成f'(x)。
实际上，大多数初等函数，都可以通过原函数f(x）直接获取f(x)的导函数。
有了导函数f'(x)，就可以直接求y=f(x)在任意点处的导数。
2.4 解析法求导数
解析法求导数，就是就是利用原函数，先人工得到导函数，然后，通过公式求解直接求解导数。
#导入库
from math import *
import time
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 一元N次非线性函数
# y=f(x) = x^3 - x - 1
def f(x):
return(1.0*x**3 - 1.0*x**1 - 1)
# 导函数：y=fv(x) =3x^2 - x
def fv(x):
return(1.0*x**2 - 1.0*x**1 -1) #导函数
x_data = np.arange(-5,5,0.2)
y_data = []
print(x_data)
for x in x_data:
y_data.append(fv(x)) #解析法依次求解
plt.scatter(x_data, y_data)
3. 迭代法求导数的基本原理
3.1 数值微分的基本思想
?
说明：x0 = a， x值为常量。
3.2 确定误差或收敛条件：对导数值求误差
3.3 迭代过程: 对h进行迭代
?
?
?也就是说，迭代的是离X0的距离h，距离逐渐减少，趋于无穷小时，按照上述的公式计算得到的就是此处的导数。
距离减少的规则采用的是指数下降法，也就是说迭代的方式指数下降迭代，而不是线性下降。
这种方式在精度和速度两个方面获得很好的平衡。
4. Python代码示例
4.1 案例1：迭代法求导数
（1）源代码：
#导入库
from math import *
import time
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
# 一元N次非线性函数
# y=f(x) = x^3 - x - 1
def f(x):
return(1.0*x**3 - 1.0*x**1 - 1)
# 导函数：y=fv(x) =3x^2 - 1
def fv(x):
return(3.0*x**2 - 1.0) #导函数
# 定义通过迭代法求导数的函数
# X0: 需要求导的位置
# accuracy： 精度
# debug： 调试开关
def f_iter(X0, accuracy = 0, debug = 0):
#log data
k = 0
x_data = []
y_data = []
z_data = []
if (debug!=0):
print("\n输入参数：X0={} , accuracy={}, debug={}".format(X0, accuracy, debug))
#计算初始导数
H0 = 1
Hk = H0
Gk = (f(X0 + Hk) - f(X0 - Hk))/(2*Hk)
if (debug!=0):
x_data.append(0)
y_data.append(Gk)
z_data.append(Hk)
#迭代求导
while True:
k = k + 1 #记录迭代次数
Hk = Hk/2 #逐步逼近
Gk_1 = Gk
Gk = (f(X0 + Hk) - f(X0 - Hk))/(2*Hk) #导数值迭代
Err = fabs(Gk - Gk_1) #求误差
if (debug !=0):
x_data.append(k)
y_data.append(Gk)
z_data.append(Err)
if (Err <= accuracy):
break;
if (debug!=0):
for x in x_data:
print(x, y_data[x], z_data[x])
print("\n迭代图示")
plt.scatter(x_data, y_data)
return Gk
accuracy = 0.00001
a = 2
print("解析法求导：", fv(a))
print("迭代法求导：", f_iter(a, accuracy, 1))（2）输出结果
解析法求导： 11.0
输入参数：X0=2 , accuracy=1e-05, debug=1
0 12.0 1
1 11.25 0.75
2 11.0625 0.1875
3 11.015625 0.046875
4 11.00390625 0.01171875
5 11.0009765625 0.0029296875
6 11.000244140625 0.000732421875
7 11.00006103515625 0.00018310546875
8 11.000015258789062 4.57763671875e-05
9 11.000003814697266 1.1444091796875e-05
10 11.000000953674316 2.86102294921875e-06
迭代图示
迭代法求导： 11.000000953674316（3）图形显示收敛过程
4.2?案例2：通过迭代法求导，获取导数序列
（1）源代码
# 定义存放导数序列的列表
x_data = np.arange(-5,5,0.2)
y_data = []
for x in x_data:
#迭代法依次求导数
y_data.append(f_iter(x, 0.0001, debug=0))
# 展示导数序列
plt.scatter(x_data, y_data)（2）图示输出（导函数）
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