改进shunting-yard调度场算法，解析含有函数式的数学表达式

在最近的量化系统开发过程中，我遇到了一个问题，需要解析用户输入的数学/逻辑表达式，并计算这个表达式的结果。解析数学表达式的经典方法是所谓的调度场算法(Shunting-yard algorithm)，将数学表达式由人类易读的“中缀表达式”重写为“后缀表达式”（逆波兰表达式），从而让计算机容易计算其结果。

不过，经典的调度场算法只能处理数学/逻辑运算符表达式，如果表达式中含有函数式，它是无能为力的,充其量可以处理单变量函数例如sqrt(), sin()等等。而我的工作恰恰需要解析含有函数式的表达式，而且函数的参数个数是不确定的，例如下面的表达式：
$1 + s u m (1, 2, (3 + 5) ? 4, m a x (3, (4 + 5) ? 6), 7 ? 8) ? (2 + 3)$
这个表达式中出现了两个函数，第一个sum()有5个参数，第二个max()有2个参数。为了实现对上述表达式的解析，需要改进标准的shunting-yard调度场算法，使它能在解析表达式的同时识别并存储函数的参数个数，从而实现对函数表达式的解析。

改进的Shunting-yard算法

本文的目的并不为了介绍经典的调度场算法，如果对本算法不熟悉的同学，建议阅读这篇文章。

我假设这篇文章的读者本身已经研究过调度场算法，只是为了改进它以解析函数式，这里直接给出我改进后的调度场算法，其中改进的部分用高亮显示：

算法使用一个队列，记为“输出队列”
算法使用两个栈，分别记为“op栈”和“args栈”，分别用于临时存放运算符和式子中函数的参数数量

当还有记号可以读取时：
读取一个记号。
如果这个记号表示一个数字，那么将其添加到输出队列中。
如果这个记号表示一个函数，那么将其压入op栈当中，同时将数字0压入args栈中。
如果这个记号表示一个函数参数的分隔符，例如一个半角逗号，那么：
从op栈当中不断地弹出操作符并且放入输出队列中去，直到栈顶部的元素为一个左括号为止。如果一直没有遇到左括号，那么要么是分隔符放错了位置，要么是括号不匹配。
args栈最顶端的元素+1

如果这个记号表示一个操作符，记做o1，那么：
只要存在另一个记为o2的操作符位于op栈的顶端，并且
如果o1是左结合性的并且它的运算符优先级要小于或者等于o2的优先级，或者
如果o1是右结合性的并且它的运算符优先级比o2的要低，那么：
将o2从op栈的顶端弹出并且放入输出队列中（循环直至以上条件不满足为止）；

然后，将o1压入op栈的顶端。

如果这个记号是一个左括号，那么就将其压入op栈当中。
如果这个记号是一个右括号，那么：
从栈当中不断地弹出操作符并且放入输出队列中，直到运算符栈顶部的元素为左括号为止。
将左括号从栈的顶端弹出并丢弃。
如果此时位于op栈顶端的记号表示一个函数，那么：
args栈最顶端的元素+1，将元素弹出，记为arg_count
将op栈顶端的函数弹出并放入输出队列中去，记录该函数的参数数量为arg_count

如果在找到一个左括号之前栈就已经弹出了所有元素，那么就表示在表达式中存在不匹配的括号。

当再没有记号可以读取时：
如果此时在栈当中还有操作符：
将操作符逐个弹出并放入输出队列中。

如果此时位于栈顶端的操作符是一个括号，那么就表示在表达式中存在不匹配的括号。

退出算法。