友情链接：【paper】2019_Consensus Control of Multiple AUVs Recovery System Under Switching Topologies and Time D
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2.4.2 水下潜航器反馈线性化模型
针对第
i
i
i 个潜航器个体，可以有
z
˙
1
i
=
z
2
i
z
˙
2
i
=
u
i
(2-54)
\begin{aligned} \dot{z}_1^i =& z_2^i \\ \dot{z}_2^i =& u_i \\ \end{aligned} \tag{2-54}
z˙1i?=z˙2i?=?z2i?ui??(2-54)
其中 z 1 i ∈ R 5 , z 2 i ∈ R 5 , u i ∈ R 5 z_1^i \in \R^5, z_2^i \in \R^5, u_i \in \R^5 z1i?∈R5,z2i?∈R5,ui?∈R5。
第4章 基于双层 Markov 变换拓扑的潜航器编队协调控制
4.1 引言
4.2 问题描述与预备知识
4.2.1 问题描述
4.2.2 预备知识
4.2.2.1 马尔科夫随机变换拓扑
4.3 不稳定通信条件下无领航者队形的潜航器编队协调控制
无领航者潜航器编队的反馈线性化模型定义如式（2-54），设第
i
i
i 个潜航器的控制输入
u
i
(
t
)
u_i(t)
ui?(t) 如下所示
u
i
(
t
)
=
?
K
p
∑
j
∈
N
i
x
a
i
j
(
t
)
(
x
i
(
t
)
?
x
j
(
t
)
)
?
K
v
∑
j
∈
N
i
v
b
i
j
(
t
)
(
v
i
(
t
)
?
v
j
(
t
)
)
(4-16)
u_i(t) = -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t) - x_j(t)) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t) - v_j(t)) \tag{4-16}
ui?(t)=?Kp?j∈Nix?∑?aij?(t)(xi?(t)?xj?(t))?Kv?j∈Niv?∑?bij?(t)(vi?(t)?vj?(t))(4-16)
其中 K p , K v K_p, K_v Kp?,Kv? 分别表示位置和速度通信拓扑下的控制增益， a i j ( t ) , b i j ( t ) a_{ij}(t), b_{ij}(t) aij?(t),bij?(t) 分别表示在 t t t 时刻位置和速度通信拓扑的邻接矩阵 A p , A v A_p, A_v Ap?,Av? 的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 单元。
4.3.1 相同时变时间延迟条件下潜航器编队协调控制
根据式（4-16）可得时延条件下的协调控制输入为
u
i
(
t
)
=
?
K
p
∑
j
∈
N
i
x
a
i
j
(
t
)
(
x
i
(
t
?
τ
)
?
x
j
(
t
?
τ
)
)
?
K
v
∑
j
∈
N
i
v
b
i
j
(
t
)
(
v
i
(
t
?
τ
)
?
v
j
(
t
?
τ
)
)
(4-24)
u_i(t) = -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t\red{-\tau}) - x_j(t\red{-\tau})) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t-\red{\tau}) - v_j(t\red{-\tau})) \tag{4-24}
ui?(t)=?Kp?j∈Nix?∑?aij?(t)(xi?(t?τ)?xj?(t?τ))?Kv?j∈Niv?∑?bij?(t)(vi?(t?τ)?vj?(t?τ))(4-24)
其中 τ \tau τ 表示时变时间延迟 τ ( t ) \tau(t) τ(t)。
4.3.2 不同时变时间延迟条件下潜航器编队协调控制
根据式（4-16），取具有不同时间延迟的控制输入为
u
i
(
t
)
=
?
K
p
∑
j
∈
N
i
x
a
i
j
(
t
)
(
x
i
(
t
?
τ
1
)
?
x
j
(
t
?
τ
1
)
)
?
K
v
∑
j
∈
N
i
v
b
i
j
(
t
)
(
v
i
(
t
?
τ
2
)
?
v
j
(
t
?
τ
2
)
)
(4-49)
u_i(t) = -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t\green{-\tau_1}) - x_j(t\green{-\tau_1})) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t-\blue{\tau_2}) - v_j(t\blue{-\tau_2})) \tag{4-49}
ui?(t)=?Kp?j∈Nix?∑?aij?(t)(xi?(t?τ1?)?xj?(t?τ1?))?Kv?j∈Niv?∑?bij?(t)(vi?(t?τ2?)?vj?(t?τ2?))(4-49)
4.3.3 不确定附加非线性因素作用下的潜航器编队协调控制
因附加非线性因素的存在，原模型（2-54）转变成具有附加非线性项的二阶积分模型，
x
˙
i
(
t
)
=
v
i
(
t
)
v
˙
i
(
t
)
=
f
v
(
x
i
(
t
)
,
v
i
(
t
)
)
+
u
i
(
t
)
(4-65)
\begin{aligned} \dot{x}_i(t) =& v_i(t) \\ \dot{v}_i(t) =& \red{f_v(x_i(t), v_i(t)) +} u_i(t) \\ \end{aligned} \tag{4-65}
x˙i?(t)=v˙i?(t)=?vi?(t)fv?(xi?(t),vi?(t))+ui?(t)?(4-65)
根据式（4-16），设存在不同时变延迟环节的潜航器编队协调控制器为
u
i
(
t
)
=
?
K
p
∑
j
∈
N
i
x
a
i
j
(
t
)
(
x
i
(
t
?
τ
1
)
?
x
j
(
t
?
τ
1
)
)
?
K
v
∑
j
∈
N
i
v
b
i
j
(
t
)
(
v
i
(
t
?
τ
2
)
?
v
j
(
t
?
τ
2
)
)
(4-66)
u_i(t) = -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t\green{-\tau_1}) - x_j(t\green{-\tau_1})) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t-\blue{\tau_2}) - v_j(t\blue{-\tau_2})) \tag{4-66}
ui?(t)=?Kp?j∈Nix?∑?aij?(t)(xi?(t?τ1?)?xj?(t?τ1?))?Kv?j∈Niv?∑?bij?(t)(vi?(t?τ2?)?vj?(t?τ2?))(4-66)
4.4 负责海洋环境扰动下领航者跟随队形的潜航器编队协调控制
4.4.1 未知海流扰动下的潜航器编队协调控制
海流是随着海域、深度、时间、水文、盐度等若干因素变化而变化，难以用具体函数描述。通常针对潜航器的任务区域以及时间等因素，在有限的时间和范围内构建局部海流流速和方法。
在海流扰动
f
c
(
x
)
f_c(x)
fc?(x) 作用下，线性领航者潜航器的模型为
x
˙
l
=
v
l
+
f
c
(
t
)
(4-85)
\dot{x}_l = v_l \red{+ f_c(t)} \tag{4-85}
x˙l?=vl?+fc?(t)(4-85)
其中领航者的速度 v l ( t ) v_l(t) vl?(t) 是根据任务随时间 t t t 发生变化。
在海流扰动
f
c
(
x
)
f_c(x)
fc?(x) 作用下，跟随者的模型可以定位为
x
˙
i
(
t
)
=
v
i
(
t
)
+
f
c
(
t
)
v
˙
i
(
t
)
=
u
i
(
t
)
(4-86)
\begin{aligned} \dot{x}_i(t) =& v_i(t) \red{+ f_c(t)} \\ \dot{v}_i(t) =& u_i(t) \\ \end{aligned} \tag{4-86}
x˙i?(t)=v˙i?(t)=?vi?(t)+fc?(t)ui?(t)?(4-86)
取潜航器在领航者跟随队形结构下
t
t
t 时刻的协调控制输入为
u
i
(
t
)
=
?
K
p
∑
j
∈
N
i
x
a
i
j
(
t
)
(
x
i
(
t
?
τ
1
)
?
x
j
(
t
?
τ
1
)
)
?
K
v
∑
j
∈
N
i
v
b
i
j
(
t
)
(
v
i
(
t
?
τ
2
)
?
v
j
(
t
?
τ
2
)
)
?
K
p
c
l
i
(
t
)
(
x
i
(
t
?
τ
1
)
?
x
l
(
t
?
τ
1
)
)
?
K
v
d
l
i
(
t
)
(
v
i
(
t
?
τ
2
)
?
v
l
(
t
?
τ
2
)
)
(4-87)
\begin{aligned} u_i(t) =& -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t\green{-\tau_1}) - x_j(t\green{-\tau_1})) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t-\blue{\tau_2}) - v_j(t\blue{-\tau_2})) \\ & -K_p c_{li}(t) (x_i(t\green{-\tau_1}) - x_l(t\green{-\tau_1})) - K_v d_{li}(t) (v_i(t-\blue{\tau_2}) - v_l(t\blue{-\tau_2})) \\ \end{aligned} \tag{4-87}
ui?(t)=??Kp?j∈Nix?∑?aij?(t)(xi?(t?τ1?)?xj?(t?τ1?))?Kv?j∈Niv?∑?bij?(t)(vi?(t?τ2?)?vj?(t?τ2?))?Kp?cli?(t)(xi?(t?τ1?)?xl?(t?τ1?))?Kv?dli?(t)(vi?(t?τ2?)?vl?(t?τ2?))?(4-87)
4.4.2 海洋噪声环境下的潜航器编队协调控制
在上文分析结果的基础上，首先假设潜航器编队在水下机动时会产生附加非线性因素，其次，将海流等外部扰动概括为未知外部扰动。
取外部海流扰动 ω i ( t ) \omega_i(t) ωi?(t) 为有界连续函数。在此约束条件下，反馈线性化后的跟随者潜航器模型可以表示为
x ˙ i ( t ) = v i ( t ) + ω i ( t ) v ˙ i ( t ) = u i ( t ) + f v ( x i ( t ) , v i ( t ) ) (4-105) \begin{aligned} \dot{x}_i(t) =& v_i(t) \red{+ \omega_i(t)} \\ \dot{v}_i(t) =& u_i(t) \red{+ f_v(x_i(t), v_i(t))} \\ \end{aligned} \tag{4-105} x˙i?(t)=v˙i?(t)=?vi?(t)+ωi?(t)ui?(t)+fv?(xi?(t),vi?(t))?(4-105)
领航者潜航器的模型为
x ˙ l ( t ) = v l ( t ) + ω l ( t ) v ˙ l ( t ) = f v ( x l ( t ) , v l ( t ) ) (4-106) \begin{aligned} \dot{x}_l(t) =& v_l(t) \red{+ \omega_l(t)} \\ \dot{v}_l(t) =& \red{f_v(x_l(t), v_l(t))} \\ \end{aligned} \tag{4-106} x˙l?(t)=v˙l?(t)=?vl?(t)+ωl?(t)fv?(xl?(t),vl?(t))?(4-106)
其中， ω i ( t ) , ω l ( t ) \omega_i(t), \omega_l(t) ωi?(t),ωl?(t) 表示外部海流扰动， f v ( x i ( t ) , v i ( t ) ) f_v(x_i(t), v_i(t)) fv?(xi?(t),vi?(t)) 表示系统的附加非线性因素。
4.5 仿真验证
4.5.1 不稳定通信条件下无领航者潜航器编队协调控制
4.5.2 复杂海洋环境下领航者跟随者潜航器编队协调控制
（1）海流干扰下的领航者跟随编队协调控制
假设定常海流为 u c = [ 0.25 , 0.25 , 0 ] m / s u_c = [0.25, 0.25, 0]m/s uc?=[0.25,0.25,0]m/s。
（2）海洋背景噪声及外部扰动作用下的领航者跟随编队协调控制
海洋背景噪声对水声通信声道的影响被定义为幅值为 1 的高斯白噪声，且每个水声通信声道都存在任意的噪声强度。
附加非线性因素定义为与潜航器速度状态相关的饱和函数，如式（4-152）所示，且满足泊松分布： P ( f ( t , x i ) ) = 0.5 P(f(t,x_i)) = 0.5 P(f(t,xi?))=0.5。
f ( t , x i ) = 0.01 tanh ? ( v i ( t ) ) (4-152) f(t,x_i) = 0.01 \tanh(v_i(t)) \tag{4-152} f(t,xi?)=0.01tanh(vi?(t))(4-152)
其中 v i ( t ) v_i(t) vi?(t) 表示当前时刻第 i i i 个潜航器的速度状态向量。
