[Python知识库] 第二单元用python学习微积分（十五）微分方程和分离变量法

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[Python知识库]第二单元用python学习微积分（十五）微分方程和分离变量法

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-微分方程和分离变量-网易公开课

正态分布_百度百科

彻底理解正态分布--强大的数学分析工具

标准差公式_百度百科

一、微分方程：

$\frac{dy}{dx} = f(x)$

1、第一类

$y = \int f(x)dx$

$\frac{dy}{dx} = f(x) dy = f(x) dx y = \int dy = \int f(x)dx$

2、第二类

$(\frac{d}{dx} + x) y = 0 ...... (\frac{d}{dx} + x)...$ 湮没算符

$\frac{dy}{dx} = -xy$

$\frac{dy}{y} = - xdx$

$\int \frac{dy}{y} = -\int xdx$

$ln\left| y \right| = -\frac{x^2}{2} + c.......(y\ne0)$

?(当y=0时，可以看到等式成立 ( $\frac{d}{dx} + x) y = 0$ )

$\left| y \right| = Ae^{-\frac{x^2}{2}}$

$y = \pm Ae^{-\frac{x^2}{2}}$

$e^{lny} = e^{-\frac{x^2}{2} + c}$

$y = Ae^{-\frac{x^2}{2}} ...... ( A = e^c)$ 这里老师说这个是正态分布的公式

检查：

$\frac{dy}{dx} = A (e^{-\frac{x^2}{2}})' = A(-\frac{x^2}{2})'(e^{-\frac{x^2}{2}}) = A(-x)e^{-\frac{x^2}{2}} ......(A e^{-\frac{x^2}{2}} =y)$

$= -xy$

正态分布曲线公式：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-\eta)^2}{2\sigma^2}}$ (μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差)

正态分布标准差的意义在于，它遵循一个经验法则，即大约95%的测量值落在均值附近的+/- 2倍个标准差之间

标准差的计算公式： $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{(xi-\bar{x} )^2}}$

from sympy import *
import numpy as np 

import matplotlib.pyplot as plt 

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(1 ) 

def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    

def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):
    diffExpr = diff(exprY)
    x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')
    expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)
    eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))
    eq1 = Eq(eq,0)
    solveY = solve(eq1)
    return xVal,solveY

def DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):
    x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)
    x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)
    plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)
    
def Newton(expr, x0):
    ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0)
    return ret

x = symbols('x')
a =3
m = 0.9
expr = (1/(2*np.pi*a)**(0.5)) * np.e**(-(x-m)**2/2*(a**2))

DrawXY(-1,3,100,expr,'blue','',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

标准正态分布曲线

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(x)^2}{2}}$

expr = (1/(2*np.pi)**(0.5)) * np.e**(-(x)**2/2)
DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

本节老师给出的方程： $y = Ae^{-\frac{x^2}{2}} ...... ( A = e^c)$

A =3
expr = A * np.e**(-(x)**2/2)
DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

二、分离变量法

?微分方程可化为

$\frac{dy}{dx} = f(x) g(y)$

$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$

$H(y) = \int \frac{dy}{g(y)} ; F(x) = \int f(x) dx$

$H(y) = F(x) +c$

$y = H^{-1}(F(x) +c)$

三、解微分方程举例

$y = Ae^{-\frac{x^2}{2}} , y(0) = 3$

$Ae^{-\frac{0^2}{2}} = 3$

A = 3

四、例题

1、由(0,0)点引一条直线落在函数y的曲线上，交点处曲线y的斜率是这条直线的斜率的2倍，求这条曲线的方程

$\frac{dy}{dx} = 2\frac{y}{x}$

$\frac{dy}{y} = 2\frac{1}{x}dx$

$\int \frac{1}{y}dy = 2\int \frac{1}{x}dx$

$lny = 2lnx + c$

$e^{lny} = e^{2lnx + c} = e^{2lnx}e^c = A(e^{lnx})^2 = Ax^2 ......(A = e^c)$

$y = Ax^2$

检查

$y = ax^2$

$\frac{dy}{dx} = 2ax = \frac{2ax^2}{x} = \frac{2y}{x}$

注意：在这个式子中，x=0处的值是没定义的

从几何上看， x=0时曲线的切线是平行于x轴的，而从(0,0)点引出的直线也落在(0,0)点

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(1) 

A = 4
expr = A * x**2
DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','A * x**2',plt)
A =-4
expr = A * x**2
DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','-A * x**2',plt)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

2、上题中的抛物线与曲线相交处，处处垂直，求这条曲线的方程

（两直线垂直,在两者斜率都存在的前提下,其斜率的乘积为-1;如果其中直线不存在斜率,则另一条直线斜率为0。对于两条互相垂直的直线而言,它们的斜率互为倒数,因此其斜率的乘积为-1）

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{2y}$

$2ydy = -xdx$

$y^2 = -\frac{1}{2}x^2 + c$

$y^2 + \frac{1}{2}x^2 = c...... ( c\geq0)$

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(0.2) 

A = 4
expr = A * x**2
DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','A * x**2',plt)

A =-4
expr = A * x**2
DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','-A * x**2',plt)
plt.legend(loc='lower right')

A = 5
expr = abs(A - 0.5*x**2)**0.5
DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','|(A - 0.5*x**2)**0.5|',plt)
expr = 0 - abs(A - 0.5*x**2)**0.5
DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','-|(A - 0.5*x**2)**0.5|',plt)

plt.show()