一、定义

1.1 0-1分布

也称伯努力分布
若随机变量X只有两个可能的取值0和1，其概率分布为
$P(X=x_{i}) = p^{x_{i}}(1-p)^{1-x_{i}} \qquad,x_{i}=0,1$

1.2 二项分布

二项分布是指在只有两个结果的n次独立的伯努利试验中，所期望的结果出现次数的概率，记
$B (n,k,p)= C_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$
其中，n表示试验次数，k表示出现某个结果的次数， $C_{n}^{k}=\frac{n(n-1)..(n-k+1)}{k(k-1)...1} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$

二、案例

???? 在很多工厂里，通常都会跟零件供应商约定供货合格率，并对每批供货进行抽检，就是所谓的IQC。设约定的合格品率为97%(p)，如果每批随机抽10件(n)，那么抽出1件(k)不合格时，整批的零件的合格率是不是达不到97%？
???? 根据题意，p=0.97，n=10，k=9，据此算出10个样品中有9个合格品的概率是
$B (10,9,0.97)= C_{10}^{9} p^{9} (1-0.97)^{10-9} = 0.228$
???? 反过来，如果考虑不合格品率，p=0.03，n=10，k= 1，据此计算出10个样品中有1个不合格品的概率是
$B (10,1,0.03)= C_{10}^{1} p^{1} (1-0.03)^{10-1} = 0.228$
???? 结果是一样的。由此可见，10个样品中有1个不合格品的概率还是很大的，因此不能说这批零件不合格。

那抽出2个不合格的呢？ $B (10,8,0.97)= C_{10}^{8} p^{8} (1-0.97)^{10-8} = 0.0317$
???? 因此如果10个样品中有2个或以上的不合格品，则整批的零件合格率肯定达不到97%，可以整批退货。
???? 如果约定的合格率是99.5%，则出现0个、1个、2个不合格品的概率分别为0.951、0.0478、0.001，如此10个只要抽出1个不合格品就可以整批退货了。

三、python 实现

代码中的情况对应上文案例

from scipy.special import comb

def GetBinomial(n,k,p):
    '''
        功能：计算给定参数的二项分布值
        传入：n（实验总次数）、k（事件出现的次数）、p(事件出现的概率)
        输出：二项分布值
    '''
    C = comb(n,k) # 计算所有组合数量
    B = C * p**k * (1-p)**(n-k)
    
    return B

b1 = GetBinomial(10,9,0.97)   # 情况1
b2 = GetBinomial(10,1,0.03)   # 情况2
b3 = GetBinomial(10,10,0.995) # 情况3
b4 = GetBinomial(10,9,0.995)  # 情况4
b5 = GetBinomial(10,8,0.995)  # 情况5
b6 = GetBinomial(10,7,0.995)  # 情况6

print("情况1：",b1)
print("情况2：",b2)
print("情况3：",b3)
print("情况4：",b4)
print("情况5：",b5)
print("情况6：",b6)