[Python知识库] 第四单元用python学习微积分（二十六）积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用

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[Python知识库]第四单元用python学习微积分（二十六）积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-部分分式-网易公开课

部分分式方法（Partial Fractions）

$\frac{P(x)}{Q(x)}$ = 有理函数（rational function） =两个多项式的比（ ratio of two polynormials）

部分分式方法就是把 $\frac{P}{Q}$ 拆分成一些可以积分的简单分式

一、掩盖法(Cover Up)

1、方法

$\int (\frac{1}{x-1} +\frac{3}{x+2})dx =\int\frac{1}{x-1}dx + \frac{3}{x+2}dx = ln|x-1| + 3ln|x+2| + c$

$\frac{1}{x-1} +\frac{3}{x+2} = \frac{x+2+3x -3}{x^2-x+2x-2} =\frac{4x-1}{x^2+x-2}$

当求解 $\int \frac{4x-1}{x^2+x-2} dx$ 时，显然要把式子拆分

(1) 首先拆分分母 $x^2+x-2$ 为 $(x-1)(x+2)$ ，考虑把分式变为 $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$

$\frac{4x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$

(2) 两边同时乘以(x-1)(x+2)

$4x-1 = A(x+2) + B(x-1)$

求A:

令x=1

$4-1 = A(1+2)$ 可以直接看作是 $A = \frac{4x-1}{x+2} =1 , x=1$

相当于遮住了左侧等式中分母中的 (x-1) 和右侧等式中的B部分，所以称为掩盖法

A = 1

求B:

令x=-2

$-8-1 = B(-2-1)$ 可以直接看作是 $B = \frac{4x-1}{x-1} =3, x=-2$

B = 3

$\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} = \frac{1}{x-1} + \frac{3}{x+2}$

2、适用于下面的情况

Q(x)有不同的线性因子同时分子的次数比分母的次数低(degP<degQ)

3、例子

$\frac{x^2+3x+8}{(x-1)(x-2)(x+5)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} +\frac{C}{x+5}$

$x^2 + 3x + 8 = A(x-2)(x+5) + B(x-1)(x+5) + C(x-1)(x-2)$

$A = \frac{x^2+3x+8}{(x-2)(x+5)} = \frac{12}{-6} = -2, x=1$

$B = \frac{x^2+3x+8}{(x-1)(x+5)} = \frac{18}{7}, x=2$

$C =\frac{x^2+3x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}, x= -5$

$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} +\frac{C}{x+5} =\frac{-2}{x-1}+\frac{18}{7(x-2)} +\frac{3}{7(x+5)}$

我计算不好，这边验算下

import numpy as np 
from sympy import *

x= symbols('x')
expr1 = (x**2+3*x+8)/((x-1)*(x-2)*(x+5))
expr2 = (-2/(x-1)) + 18/(7*(x-2))+3/(7*(x+5))
print ('x=5')
print ('expr1=',expr1.subs(x,3))
print ('expr2=',expr2.subs(x,3))

x=5 expr1= 13/8 expr2= 13/8

二、组合的方法1-分子中的分式变量的次数为1（掩盖法加代数方法）

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)}$

这个式子不适用于掩盖法，因为分子中有相同的分式(x-1)(x-1)

1、方法

(1)拆分

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}$

这里为啥要拆分成这种形式？

老师的解释是类似 $\frac{7}{16} = \frac{0}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} +\frac{1}{2^4}$ ,这个我不是很理解

这里B和C是可以使用掩盖法的，因为等式两边同时乘以 $(x-1)^2(x+2)$

$x^2+2 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2$

可以看到无论x=1或x=2， A都会被消掉，所以A只能使用代数的方法求解

当B和C都已经有值的情况下，随便设个x的值，A都可以求出，所以先计算B和C

(2)求解 $B= \frac{x^2+2}{x+2} = \frac{3}{3}=1 ,x=1$

$C = \frac{x^2+2}{(x-1)^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, x=-2$

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2} = \frac{A}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}$

令x=0(注意，这里的x不能使用掩盖法已经使用过的值)

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}$

$\frac{+2}{(0-1)^2(0+2)} = \frac{A}{0-1} + \frac{1}{(0-1)^2} + \frac{2}{3(0+2)}$

$1 = -A + 1 + \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{1}{3(x-1)} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{3(x+2)}$

三、组合的方法2-分子中的分式变量的次数不为1

1、方法

(1)拆分

$\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

用掩盖法求解A

$A = \frac{x^2}{(x^2+1)} = \frac{1}{2} ,x=1$

求解B和c无法用掩盖法，老师说除非使用复数计算这里才能使用掩盖法

(2)求解B，C

等式两边乘以分母

$\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

$x^2= A (x^2+1)+ (Bx+C)(x-1)$

这里考虑x的齐次的系数在等式左右两侧要一致

所以首先考虑 $x^2$ 的系数，按照原等式列新的等式

$1 = A^2 + B, A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

考虑常数，也就是 $x^0$ 的系数

$0 = A - C, A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2(x-1)} + \frac{x+1}{2(x^2+1)}$

(3)问题

这里提到如果在分母中有 $x^3+1$ 这种怎么办，老师说这种情况是没有完全因式分解(fully factored)

sympy的函数factor可以做因式分解，但是这个情况并不完全

x= symbols('x')
expr1 =x**3+1
print ('expr1=', expr1.factor())

expr1= (x + 1)*(x**2 - x + 1)

这里( $x^2 - x + 1$ )依旧可以继续处理

多项式形式: $ax^2+bx+c$

$x^2 - x + 1+\frac{b}{2a} -\frac{b}{2a} = x^2 - x + 1+\frac{1}{4} -\frac{1}{4} = (x-\frac{1}{2})^2 +\frac{3}{4}$

这里设 $u = x -\frac{1}{2}$ 则有 $(x^3+1) =(x + 1) (x^2 - x + 1) = (u+\frac{3}{2})(u^2+\frac{3}{4})$

(4)积分

$\int \frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)} dx = \int \frac{dx}{2(x-1)} +\int \frac{xdx}{2(x^2+1)} +\int \frac{dx}{2(x^2+1)}$

$= \frac{1}{2}ln|x-1| +\frac{1}{4}ln|x^2+1|+\frac{1}{2}arctan(x) +c$

四、当分式中分子的次数大于分母的次数（degP>degQ）

$\frac{x^3}{(x-1)(x+2)}$

1、方法

(1) 分母合并因式

$(x-1)(x+2) = x^2+x-2$

(2) 求商和余（按下图操作）

商+余/原分母

$x-1 +\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)}$

(3)拆分

$\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+2}$

$A = \frac{3x-2}{(x+2)} = \frac{1}{3} ,x=1$

$B = \frac{3x-2}{(x-1)} = \frac{8}{3} , x = -2$

$\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+2} = \frac{1}{3(x-1)} + \frac{8}{3(x+2)}$

$x-1 +\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)} = x-1+ \frac{1}{3(x-1)} + \frac{8}{3(x+2)}$

检查下：

x= symbols('x')
expr1 = x**3/((x-1)*(x+2))
expr2 = x-1+1/(3*(x-1))+8/(3*(x+2))

print ('expr1=', expr1.subs(x,5))
print ('expr2=', expr2.subs(x,5))

expr1= 125/28

expr2= 125/28

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