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[Python知识库]第五单元用python学习微积分（三十四）泰勒级数

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-泰勒级数-网易公开课

Bullseye：第一单元用python学习微积分（一）安装开发环境Anaconda 和导数（上）- 1/x的导数

质心问题Center of Mass - Sciencetopia

重心问题Center of Gravity Definition, Equation and Calculation

Bullseye：第一单元用python学习微积分（二）VSCode 、PYGame 和导数（上）- 瞬时速度

2、用级数的想法来考虑这个问题,老师的思想实验

（1）设置

（2）计算

（3）计算跨越26个单位长度距离需要多少木块堆积？

（4）老师要求注意，尽管这个级数是没有极限的，但是这个级数的增长十分的缓慢。

三、幂级数

1、几何级数（Geomeric Series）

4、泰勒公式（Taylor's Formula）

5、泰勒公式的应用（求取 e ）

6、求取sin(x)

7、求取cos(x)

一、重心和质心

1、质心

（1）一个物体

刚体由大量粒子组成，刚体的质量是单个粒子质量的总和。但是，我们可以考虑物体上的一个点，使得物体的全部质量都集中在它上面，并且当施加相同的力时，该点的运动与与物体质量相同的粒子的运动相同.这个点称为质心。因此，物体的质心是施加的力产生线性加速度但没有旋转的点。

单个物体上的受力是由其上面每个粒子所受力的总和

设置：如图总质量为M；质心为C.M.； 'm1, m2 ...' 为物体上某点的质量

质心公式（center of mass [x, y]）= $[ \frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+...}{M} , \frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+...}{M} ]$

（2）系统质心：

设置：两个质量为m1和m2的物体，如图所示。让质量通过刚性杆连接，并让C是它们的质心。

有公式： $\frac{m_1}{x_1} = \frac{m_2}{x_2}$

2、重心

重心是物体的重量作用并且物体上的总重力扭矩为零的点，简写C.G.

（1）单一物体

设置：物体上某粒子的重力 $m_ig$ ， $r_i$ 是这个粒子从纸板的 CG 的位置向量， $t_i$ 是这个粒子上重力的扭矩

$t_i = r_i \times m_ig$

我们知道在CG点总重力扭矩是 0，所以有

$\sum_{i=1}^{n}t_i =\sum_{i=1}^{n} r_i \times m_ig = 0$

由于 g 是常数， $\sum_{i=1}^{n} r_i \times m_i = 0$

（2）系统重心：

设置：两个宽2m的铁块 a, b，分别重20kg，40kg，并分别放置在木板两侧A、B，木板长20m。

a 的重心距离 A 点1m，而 b 的重心距离A点19m

以左侧A点为基准

系统重心 = 总重力扭矩 $\div$ 总的力臂 = （A的力臂 $\times$ A点受力 + B的力臂 $\times$ B点受力） $\div$ （A点受力 + B点力臂）

总重力扭矩= $1 \times 20 + 19\times40 = 780 kg.m$

系统重心距离左侧= $\frac{780}{20+40} = 13 m$

3、不同形状的重心位置

体型	CG位置
细均匀条	条的中点
圆环	环的中心
圆盘	磁盘中心
球体、空心球体、环形盘	在它的中心
立方体或矩形块	对角线的交点
三角板	中线的交点
方形层、平行四边形和矩形层	对角线的交点
圆柱	轴的中点
圆锥或金字塔	在与底面中心顶点相接的线上，距底面的距离等于该线长度的1/4

二、重心问题

如图，有多个积木搭在一起，由下向上，每块都向左偏移一定的距离，问最上面那一块的右测可不可以偏移到最下面的积木的左测以左。

1、实验

老师用几块积木做了这个实验，并且成功了。这里的秘密就是要从上向下布置。

其原理是，由于只要在积木的重心处有支撑，积木就可以立住。

第一块积木的重心在他的中心位置，所以第二块积木要放在第一块的一半处（积木都是等大小的，所以我们只需要考虑水平方向的位置，xCenter1）。第一块和第二块积木形成了新的系统，这个系统的重心在原第一块和第二块重心的平均的位置（ $\frac{xCenter1+xCenter2}{2}$ ）, 以此类推当有n个积木以此方法布置时，它们组成的系统的重心为( $\frac{xCenter1+xCenter2+...+xCenterN}{N}$ )

模拟程序：

pygame基础上制作的模拟程序

链接：百度网盘请输入提取码

提取码：1g1u

解压7z，并在解压目录中运行 AddRectangles.py。程序中点击键盘回车可以添加一个积木。

2、用级数的想法来考虑这个问题,老师的思想实验

（1）设置：积木长 L = 2，重力 W = 1 ，位置因素只考虑x方向变化，使用贪婪算法，从上向下布置，第n+1块积木所在的位置是：第n块积木的重心和第n+1块积木重心的平均数，也就是 $n \times W \times C_n$ ? 和 $W \times C_{n+1}$ 的平均数。由于每块积木的重量相等，则第n块积木累积了n的重量，而n+1块积木有重量 1，它们的平均值是

（2）计算

考虑重心中系统重心的公式

以原点计，

系统重心 = 总重力扭矩? $\div$ 总的力臂 = （A的力臂? $\times$ A点受力 + B的力臂? $\times$ B点受力）? $\div$ （A点受力 + B点力臂）

也就是第n+1块积木的左侧是在前n块积木的重心 $C_n$ （W=1，重力为 n ）下方，也就是说第n+1块积木的重心在 $C_n + 2/2 = Cn +1$ （重力为 1 ）

再把重量考虑进去，则这个新的重心在 $\frac{nC_n +1 (C_n+1)}{n+1} = \frac{(n+1)C_n+1}{n+1} = C_n+\frac{1}{n+1}$

程序：

import numpy as np 
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt 

def GetCenter(steps, weight, length):
    Cn = 0
    for i in range(steps):
        n = i
        Cn = (Cn*weight*n + (Cn + length/2.0)*weight)/(n+1)
        print(Cn)
        
W = 1
L = 2
GetCenter(100,weight=W,length =L)

1.0
1.5
1.8333333333333333
2.083333333333333
2.2833333333333328
...
5.177377517639616
5.187377517639615

按公式展开：

$C_0 = 1$

$C_1 = 1+\frac{1}{2}$

$C_2 = 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

....

$C_n =1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}$

由上一章得知：

Bullseye：第五单元用python学习微积分（三十三）反常积分（下）-- 无穷级数和收敛判定

黎曼上和（ $\Delta x= 1$ ） $UpperRiemanSum=1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{N-1} = \infty$

显然这个 $C_n \rightarrow_{n \rightarrow\infty} \infty$ （发散的）

（3）计算跨越26个单位长度距离需要多少木块堆积？

由上一章的知识可知， $ln(n)$ ? 近似并小于 $C_n$ （ $C_n<ln(n)+1$ ）,

这里要注意，每个木块被定义为2个单位距离，所以当我们需要跨越26个单位距离时，

首先要减掉最下面那块的2个单位距离，然后就是其余的积木的重心到目标位置的距离即24个单位距离，也就是 $C_n = 24$ ，由于 $ln(n) < C_n<ln(n)+1$ ，也就是让第24个单位距离处为这n块积木的重心，求 n+1（显然 n 是整数）。

x = symbols('x')
eq = ln(x)-24
eq1 = Eq(eq,0)
solveX = solve(eq1)
print(int(solveX[0]))
26489122129

$n =(int) e^{24} +1 = 26489122129+1=26489122130$

假设木块高3cm，这些木块摞起来有多高呢？ $26489122130*3/100 \approx 8 * 10^8 (m)$ ，大约等于地球到月亮的距离的2倍

（4）老师要求注意，尽管这个级数是没有极限的，但是这个级数的增长十分的缓慢。

三、幂级数

1、几何级数（Geomeric Series）

当 |x| < 1

$1+x+x^2+x^3... = \frac{1}{1-x}$

（1）证明

假设有 $1+x+x^2+x^3+... = S$

$(1+x+x^2+x^3+... )\times x = S \times x$

$x+x^2+x^3+x^4+... = S \times x$

$S - x+x^2+x^3+x^4+... =S- S \times x$

由于 $1+x+x^2+x^3+... = S$

$1= S - S \times x$

$S = \frac{1}{1-x}$

这个证明要求S首先要存在，也就是这个幂级数要是收敛的，不能是发散的。

当 $x \geq 1$ 时，等式 $1+x+x^2+x^3+... = S$ 会变成 $\infty = \infty$ ,造成结果无意义。

2、幂级数的一般形式

（1）公式

$a_0+ a_1x + a_2x^2 + a_3x^3+...$

$= \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$

$|x|<R$ (收敛半径 radius of converges)

$-R < x <R$ （级数收敛点集区间）

当 $|x|>R$ ， $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 是发散的

当 $|x|=R$ , 是边界，并不会被使用

（2）如何判断

$|a_nx^n|\rightarrow0$ 以指数速度趋向0 ，当 $|x|<R$

$|a_nx^n|$ 不会趋向0 ，当 $|x|>R$

3、收敛幂级数的法则（和多项式类似）

$f(x) + g(x) , f(x)g(x) , f(g(x)) ,\frac{f(x)}{g(x)}, \frac{d}{dx} f(x), \int f(x)dx$ 这些运算对幂级数来说都是成立的

（1）运算举例

$\frac{d}{dx}(a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...)= a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2+...$

$\int(a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...)dx = const + a_0x + \frac{1}{2}a_1x^2 + \frac{1}{3}a_2x^3 + \frac{1}{4}a_3x^4 +...$

4、泰勒公式（Taylor's Formula）

注意：使用泰勒公式时，当 n=0 时，约定俗成 0! = 1

泰勒公式的本质是近似，当 f(x)在 $x_0$ 处有n阶导数，则有这个函数可以用幂函数近似替代，有公式

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$

当这个函数在 x=0 处有n阶导数，泰勒公式变换为更常用的麦克劳林公式

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

当这个展开式n值越大，近似度就越高

通常在幂级数中， $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

证明：

$f(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$

$f'(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2+...$

$f''(x) = 2a_2 + 3 \times 2 a_3x+...$

$f'''(x) = 3\times 2a_3 + 4 \times 3\times 2 a_4+...$

x 取 0， $f'''(0) = 3\times 2a_3$

$\frac{f^{(3)}(0)}{3 \times 2\times1} =\frac{f^{(3)}(0)}{3!}= a_3$

5、泰勒公式的应用（求取 e ）

我们知道，当 $f(x) =e^x 有 f'(x) = e^x, f''(x) = e^x, f'''(x) = e^x...$ , $f^{(n)}(0) = 1$

所以我们可以把它带入泰勒公式，有

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n$

而 $e^1 = 1+1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+...$

6、求取sin(x)

我们知道，当 $f(x) =sin(x) 有 f'(x) = cos(x), f''(x) = -sin(x), f'''(x) = -cos(x)...$

$sin(x) =\frac{sin(0)}{1} + \frac{cos(0)}{1!}x - \frac{sin(0)}{2!}x^2 - \frac{cos(0)}{3!}x^3 + \frac{sin(0)}{4!}x^4 + \frac{cos(0)}{5!}x^5 + ..$

$=x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 ...$

7、求取cos(x)

$cos(x) =\frac{cos(0)}{1} - \frac{sin(0)}{1!}x - \frac{cos(0)}{2!}x^2 + \frac{sin(0)}{3!}x^3 + \frac{cos(0)}{4!}x^4 - \frac{sin(0)}{5!}x^5 + ..$

$=1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!}x^4...$

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[Python知识库]第五单元 用python学习微积分（三十四）泰勒级数

一、重心和质心

1、质心

（1）一个物体

（2）系统质心：

2、重心

（1）单一物体

（2）系统重心：

3、不同形状的重心位置

二、重心问题

1、实验

2、用级数的想法来考虑这个问题,老师的思想实验

（2）计算

（3）计算跨越26个单位长度距离需要多少木块堆积？

（4）老师要求注意，尽管这个级数是没有极限的，但是这个级数的增长十分的缓慢。

三、幂级数

1、几何级数 （Geomeric Series）

（1）证明

2、幂级数的一般形式

（1）公式

（2）如何判断

3、收敛幂级数的法则（和多项式类似）

4、泰勒公式（Taylor's Formula）

5、泰勒公式的应用（ 求取 e ）

6、求取sin(x)

7、求取cos(x)

[Python知识库]第五单元用python学习微积分（三十四）泰勒级数

1、几何级数（Geomeric Series）

5、泰勒公式的应用（求取 e ）