[人工智能]第二十六课.深度强化学习(一)

强化学习基本概念

强化学习即 Reinforcement Learning，而现在所说的强化学习更多的实际是深度强化学习。本篇先了解强化学习中的基本概念。

数学基础回顾

首先，我们回顾随机变量Random Variable，随机变量是一个未知的量，它的值取决于一个随机事件的结果。以硬币投掷为例：

我们将正面朝上记为0，反面为1，抛硬币是一个随机事件，抛硬币的结果记为随机变量$X$，随机变量有两种取值情况（0或1），并且我们可以知道抛硬币结果的概率。

通常，我们用大写字母表示随机变量，用小写字母表示随机变量的观测值，观测值只是一个数值，没有随机性，比如我们抛硬币4次，可以记录以下4个观测值：$$x_1=1,x_2=1,x_3=0,x_4=1$$下面我们了解概率密度函数（PDF，Probability Density Function），概率密度函数的物理意义为：PDF反映随机变量在某个确定取值点上的可能性。

比如高斯分布，高斯分布是连续概率分布，标准高斯分布的PDF为：

可以看出，在随机变量$X$取值为0时的概率最大。

对于离散型的分布，假设随机变量取值为离散型（ X ∈ { 1 , 3 , 7 } X\in\left\{1,3,7\right\} X∈{1,3,7}），其PDF为：

可以将PDF描述为：$p(X=1)=0.2,p(X=3)=0.5,p(X=7)=0.3$。

假设随机变量$X$的取值域为$\chi$，如果随机变量为连续型，则有：$${\int }_{\chi }p(X=x)dx=1$$与$X$相关的分布$f(X)$的期望为：$$E[f(X)]={\int }_{\chi }p(X=x)f(x)dx$$

如果随机变量为离散型，则有：$$\sum _{x\in \chi }p(X=x)=1$$与$X$相关的分布$f(X)$的期望为：$$E[f(X)]=\sum _{x\in \chi }p(X=x)f(x)$$
接下来了解随机抽样（Random Sampling），以黑箱摸球为例，假设一个箱子里有10个球：2个红球，5个绿球，3个蓝球。现在从中取一个球，我们想知道会摸出什么球。

所谓随机抽样就是从箱子中取出一个球，并观察到颜色，我们把这个过程叫做随机抽样。

我们可以借助Numpy.random下的choice函数模拟上述随机抽样，假设我们模拟100次（有放回）：

from numpy.random import choice

samples=choice(['R','G','B'],size=100,p=[0.2,0.5,0.3])
print(samples)

"""
['R' 'G' 'R' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'R' 'B' 'G' 'B' 'G' 'B'
 'G' 'B' 'G' 'G' 'G' 'G' 'B' 'B' 'B' 'G' 'G' 'G' 'R' 'G' 'G' 'R' 'B' 'G'
 'G' 'B' 'B' 'G' 'B' 'B' 'R' 'G' 'B' 'B' 'B' 'B' 'R' 'R' 'B' 'B' 'G' 'B'
 'G' 'G' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'R' 'R' 'G' 'G' 'R' 'G' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G'
 'B' 'R' 'R' 'G' 'B' 'G' 'G' 'G' 'G' 'G' 'G' 'G' 'G' 'R' 'G' 'R' 'G' 'G'
 'B' 'G' 'G' 'B' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'G']
"""

强化学习中的专业术语

我们以《超级马里奥》为背景，认识强化学习中的专业术语。

首先，我们讲解state与action，我们可以认为state $s$ 就是当前游戏的一帧画面：

action则是智能体agent的行为，在强化学习中，动作action由谁发出，谁就是智能体，action a ∈ { l e f t , r i g h t , u p } a\in\left\{left,right,up\right\} a∈{left,right,up}：

基于当前的state，agent做出某个action的过程被称为policy（策略）。函数policy $\pi$ 被定义为：$$\pi (a|s)=p(A=a|S=s)\in [0,1]$$policy函数本质是一种概率密度函数，比如基于当前 state $s$，我们有以下policy：$$\pi (left|s)=0.2,\pi (right|s)=0.7,\pi (up|s)=0.1$$这反映了agent会以0.7的概率选择动作right，以0.2的概率选择动作left，以0.1的概率选择动作up。具体采取的action由分布采样得到。

强化学习的本质就是学习policy函数，policy函数是指导机器根据state采取action的依据。

注意这些动作是具有随机性的（根据概率分布采样action），我们不索引max，而保留随机性，这有利于一些博弈问题，由于action的随机性，对手不能根据当前state准确预测出所采取的action，所以不能预判出下一个state的情况，同理不能顺序预测下一个state应该采取的action。

下面介绍奖励 reward $R$，奖励的设置由实际情况决定，比如我们可以设置：

• 马里奥收到一个金币，奖励为1：$R=1$；
• 赢了当前游戏：$R=10000$；
• 游戏失败：$R=?10000$；
• 什么都没发生：$R=0$；

state由于action触发到下一个state，该过程为状态转移 state transition。状态转移的随机性可以存在，也可以不存在，随机性是否存在取决于环境environment，比如：

比如我们让agent采取up的action，下一个state必然存在马里奥出现在上方的情况，但由于"环境"（即游戏程序）设置蘑菇怪 Goomba 会以0.8的概率向前走，0.2的概率向后走，这就导致下一个state并不是完全确定的，所以说此时的state具有随机性。

但不管是什么状态，我们总是用一帧图像描述。我们将状态记为随机变量$S$，下一个状态记为随机变量$S^{{}^{\prime }}$，我们可将状态转移函数描述为概率密度函数：$$p(s^{\prime }|s,a)=p(S^{\prime }=s^{\prime }|S=s,A=a)$$注意，状态转移函数只有环境能得到，玩家是不能得到的。

下面我们来了解：agent与environment的交互。

agent为马里奥，环境为游戏程序。状态$s_t$由环境得到，我们可以将其定义为一帧图像。agent根据$s_t$做出动作$a_t$。

在agent做出$a_t$后，环境会更新状态至$s_{t+1}$，同时给agent奖励$r_t$。

强化学习中的随机性

明白强化学习中随机性的来源是必要的。

• 第一个随机性来源于action，给定状态$s$，动作是随机的，用随机变量$A$表示动作（$a$表示观测值），根据policy函数进行随机抽样：
  
• 第二个随机性来自状态转移，我们可以描述为，给定状态$S=s$，动作$A=a$，环境会随机生成状态$S^{\prime }～p(?|s,a)$：
  

如何使用AI进行游戏

首先，我们利用强化学习获得policy函数$\pi$，然后进行以下循环：

• 观测到当前状态（一帧图像）$s_1$；
• 由policy函数计算概率分布，随机抽样得到动作$a_1$；
• 由环境生成下一个状态$s_2$，同时环境返回给agent一个奖励$r_1$；
• 由policy函数计算概率分布，随机抽样得到动作$a_2$；
• 同理如上操作$?????$

在以上循环中，我们可以得到一个（state，action，reward）组成的轨迹：$$s_1,a_1,r_1,s_2,a_2,r_2,...,s_T,a_T,r_T$$

关于rewards和returns

rewards在前面已经提到过，是agent获得的奖励。而returns的定义是：cumulative future reward，即未来的累计奖励，returns被翻译为回报。我们将$t$时刻的回报记为$U_t$：$$U_t=R_t+R_{t+1}+R_{t+2}+???$$可以看出，$U_t$为：从$t$时刻奖励$R_t$一直求和至游戏结束时的奖励。

现在考虑一个问题：$R_t$和$R_{t+1}$一样重要吗？

• 解释：一般，未来的奖励不如现在的奖励有价值，比如今天给我100美元和一年后给我100美元，我更倾向于选择今天就得到，因为未来的不确定性会让我怀疑一年后得不到100美元。

由于未来奖励的价值有削弱，所以我们更正回报，得到折扣回报的表达：$$U_t=R_t+\gamma R_{t+1}+{\gamma }^2{R}_{t+2}+???$$其中，$\gamma$为折扣率，是一个超参数，折扣率的设置会对强化学习的表现产生影响。

下面分析一下回报计算中的随机性。

前面已经知道，随机性有两个来源：

• action $A$是随机的：$p[A=a|S=s]=\pi (a|s)$；
• 新状态$S^{\prime }$是随机的：$p[S^{\prime }=s^{\prime }|S=s,A=a]=p(s^{\prime }|s,a)$；

注意到，对于$i\ge t$，奖励$R_i$取决于$S_{i+1}$和$A_i$，所以$R_i$也是随机的。因此，给定某个状态$S_t=s_t$，该时刻的回报$U_t$也会是随机的，$U_t$取决于下面的随机变量：$$A_t,A_{t+1},...,S_{t+1},S_{t+2},...$$

价值函数Value Functions

action-value function

根据前面讲过的回报returns，我们可以很直接地希望获得一种策略，使得$t$时刻的回报尽量大，但由于$U_t$是随机变量，因此，我们可以使其期望最大达到一个良好的游戏结果。回报的期望记作：$$Q_{\pi }(s_t,a_t)=E[U_t|S_t=s_t,A_t=a_t]$$函数$Q_{\pi }$又被称为基于$\pi$的 action-value function（动作-价值函数）。

注意，$U_t$应该取决于随机变量：$A_t,A_{t+1},...,S_{t+1},S_{t+2},...$，但在计算期望时，由于我们对后续不确定性的随机变量进行积分或求和，最终使得期望与初始观测值$s_t$和$a_t$，以及策略函数$\pi (a|s)$，状态转移函数$p(s^{\prime }|s,a)$有关。由于状态转移函数是环境决定的，故我们将动作-价值函数记作$Q_{\pi }(s_t,a_t)$。

给定当前状态$s_t$和policy函数$\pi$，通过计算$Q_{\pi }(s_t,a_t)$，我们可以得到不同$a_t$下的$U_t$的期望，从而可判断哪个动作可以获得更多回报。

补充一点：如果选择不同的policy函数，我们将得到不同的$Q_{\pi }$，我们可以选择最大的动作-价值函数，记作：$$Q^{?}(s_t,a_t)=ma{x}_{\pi }{Q}_{\pi }(s_t,a_t)$$函数$Q^{?}$被称为optimal action-value function，即最优动作-价值函数。

state-value function

状态-价值函数即state-value function，它是action-value function关于动作的期望：$$V_{\pi }(s_t)=E_A[Q_{\pi }(s_t,A)]$$状态-价值函数的意义在于：$V_{\pi }$可以反映当前状态的局势好坏，假设我们根据policy函数下围棋，$V_{\pi }$可以通过当前的棋盘状态告诉我们是快要胜利，还是快要失败。

如果动作是离散的，我们可以将state-value function表达为：$$V_{\pi }(s_t)=E_A[Q_{\pi }(s_t,A)]=\sum _a\pi (a|s_t)Q_{\pi }(s_t,a)$$如果动作是连续的，比如自动驾驶的方向盘角度（-90度到+90度之间的连续值），我们可以将state-value function表达为：$$V_{\pi }(s_t)=E_A[Q_{\pi }(s_t,A)]={\int }_{?90}^{+90}\pi (a|s_t)Q_{\pi }(s_t,a)da$$

关于价值函数的理解：

• 选择某个policy函数$\pi$后，action-value function $Q_{\pi }(s_t,a_t)$可以告诉我们，在状态$s_t$下，agent选择动作$a_t$后获得的回报期望。
• state-value function $V_{\pi }(s_t)$可以告诉我们，在状态$s_t$下，我们将要获胜的程度。很明显，如果状态越好，则$V_{\pi }$的值会越大。
• 延申一下，其实我们可以用$V_{\pi }$判断policy的好坏，如果策略函数$\pi$越好，则期望$E_S[V_{\pi }(S)]$越大。

再述用AI进行游戏

还是以超级玛丽为例：多捕捉金币，避开敌人，向前走，直到通关。我们要做的是写一个算法控制agent。我们可以有下面的方式：

第一种做法是学习policy函数$\pi (a|s)$，这属于强化学习中的策略学习（Policy-Based Learning），当我们获得策略后，进行以下操作：

• 观测当前状态$s_t$；
• 随机抽样：$a_t～\pi (?|s_t)$。

另一种做法是学习最优动作-价值函数（optimal action-value function）$Q^{?}(s,a)$，这属于强化学习中的价值学习（Value-Based Learning），当我们获得价值函数后，进行以下操作：

• 观测当前状态$s_t$；
• 选择$Q^{?}(s,a)$最大化对应的动作：$a_t=argma{x}_a{Q}^{?}(s_t,a)$。

关于第二种做法，进行下面的补充：对于$t$时刻，我们可以使用不同的policy，这就导致我们可以计算出不同的回报期望$Q_{\pi }(s_t,a)$，但我们选择$t$时刻回报期望最大的policy，得到该时刻下，对于不同policy，选择动作$a$的最大回报$Q^{?}(s_t,a)$，我们统计所有$a$对应的$Q^{?}(s_t,a)$，取回报最大的那个action作为最优动作$a_t$。

关于OpenAI Gym

Gym 是一个用于开发和比较强化学习算法的工具包。它与各种数值计算库兼容，比如 tensorflow 和 Theano。Gym 库是测试问题（环境）的集合，我们可以使用它来制定强化学习算法。这些环境（environment）具有共享接口，允许我们编写通用算法。

Gym包含以下两个部分：

• Gym开源库：一个问题和环境的集合，用于提供测试强化学习算法的背景问题。
• Gym服务：一个API，用于对比训练后智能体的性能。

Gym的环境举例如下，有经典的控制问题：

也有小霸王游戏机里的游戏 Atari Games：

此处我以CartPole为例描述问题：黑色的小车可以在传送带上左右移动，我们给小车左右的力，使得小车上的木杆能够竖起来不倒下去。

Gym的安装简单：

pip install gym

在Python中调用Gym是容易的，我们以经典控制问题中的CartPole问题为例：

import gym

# 构造问题环境
env=gym.make('CartPole-v0')

# 环境重置，获取初始状态
state=env.reset()

for t in range(100):
    # 渲染游戏，render会将当前state（一帧图像）以窗口可视化给我们看
    env.render()
    print(state)

    # 随机均匀地抽样一个动作，本行语句其实是错误的，实际应该由pi函数或Q*函数算出action，而不是简单的直接均匀抽样
    action=env.action_space.sample()

    # agent发出action，环境更新state，并返回reward，同时有两个返回对象done（布尔）和info（字典），info是调试信息
    state,reward,done,info=env.step(action)

    # 如果done=1，代表游戏结束（赢了或者输了）
    if done:
        print('Finished')
        break

# 环境销毁
env.close()