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[人工智能]概率论与数理统计 —— 1. 基本事件类型、运算规则,及古典概型与几何型概型

概率论与数理统计的相关知识,是机器学习及深度学习最常应用到的基本知识。因为对于机器学习和深度学习来说,最常见的一个应用场景就是训练一堆样本集后,给定一个测试样本,它可能同时具备类A和类B的特征,那么就需要通过概率判断它可能最终是类A,还是类B了。

这里的相关知识很多来自你大学期间学习过的教材,但也不是简单的CV大法,而是带有一些我个人的看法和我所知道的应用场景在里面,希望无论是考研还是从事相关数据分析工作都能帮到你。

1.1. 基本事件类型

这是我们所有概率模型的基础,所有的概率事件进行简化后都可以描述为几种以下的基本事件类型。

包含事件

事件发生时,若事件X属于集合A,那也一定属于B,从集合来看,A是B的子集。比如对输入字符进行检测,它可能是小写字符,也可能是数字,或者大写字符。但都属于文字字符。

在这里插入图片描述

表达式

A ? B A \subset B A?B

并(和)事件

事件发生时,可能属于类别A,也可能属于类别B,也可能同时属于类别A和B。在我们实际的场景中,这种情况通常出现在用户画像,一个用户可能具备多种不同的特征,比如喜欢购买烟草、啤酒、蛋白粉等,然后根据不同的特征组合判断用户潜在的消费习惯。亦或者是做聚类分析时,对于非法行为进行检测,可能非法样本具备一个或几个不同的特征,但不一定都具备所有特征集合。

在这里插入图片描述

表达式

A ∪ B = A + B A \cup B = A + B AB=A+B

差事件

集合A包含一些集合B中存在的样本,需要计算A中不包含B的部分。比如,在实际场景中,经常见到很多集合是彼此黏着在一起的,但是某些时候,不得不完全排除其他集合,即便这些集合可能存在需要样本,但是从总体看并不影响最后的准确率,比如一些违规行为分析和判定上,存在模糊空间,有时候出于策略考虑,会放过这些模糊的行为。另外在金融安全防控中也经常这种基本模型。

在这里插入图片描述

表达式

A ? B = A B ˉ = A ? A B A - B = A \bar{B} = A - AB A?B=ABˉ=A?AB

交事件(共同事件)

事件发生时正好出于多个集合的交集。一般较少单独拿它作为一个模型使用。但是在实际场景中也不是没有遇到过。比如说电子警察,对于交通违章行为的判定上,经常会出现判定司机驾驶行为处于违章和没有违章的情况。举例来说,前方发生车祸时,后车为了进行避让,采取了碾压实线的行为。一般来说,电子眼会把这些统统算成违章,但是最终会交给民警进行审核。如果采用自动的AI进行判定,那就会出现违章和不违章同时存在的共同事件。

在这里插入图片描述

表达式

A ∩ B = A B A\cap B = AB AB=AB

互斥事件

集合A和集合B没有任何交集,也就是说从概率上A B不可能发生,要么都不发生,要么只发生其中一个,在实际应用中它跟对立事件很相似。就比如说,成绩有及格和不及格之分,性别有男性和女性之分。

在这里插入图片描述

表达式

A ∩ B = ? A \cap B = \phi AB=?

其中 ? \phi ?表示空集,即概率 P ( A ∩ B ) = 0 P(A\cap B) = 0 P(AB)=0

对立(逆)事件

有时候也叫 0-1 事件。它表示当事件发生时,它可能属于集合,也可能不属于集合。它只有二元状态,是或非。
在这里插入图片描述

表达式

A ∪ A ˉ = S A \cup \bar{A} = S AAˉ=S
A ∩ A ˉ = ? A \cap \bar{A} = \phi AAˉ=?

其中 S S S表示全集,概率 P ( A ) = 1 ? P ( A ˉ ) P(A) = 1 - P(\bar{A}) P(A)=1?P(Aˉ)

独立事件

相对比较重要,因为很多数据模型都是基于独立事件。独立事件表示集合之间没有必然联系,没有先后顺序,可能发生也可能不发生。经典的柏松等待就是基于独立事件的,也是我们进行数据分析时经常遇到的一类问题。

在这里插入图片描述

确定一个模型或者场景是否独立事件一定基于以下几点:

  • P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB) = P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B),即AB事件同时发生的概率等于单独各事件的概率乘积
  • A与B之间相互独立,因此可以有 A B AB AB, A B ˉ A \bar{B} ABˉ, A ˉ B \bar{A}B AˉB, A ˉ B ˉ \bar{A}\bar{B} AˉBˉ
  • 若A 、B、C相互独立,一定有 P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC) = P(A) P(B) P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
  • 相互独立 ≠ \neq ?= 两两独立

这其实很好理解,就跟扔骰子一样,无论有多少个骰子,投出来的点数彼此之间都是独立的。

1.2. 基本事件运算规则

注意,概率的运算过程仅可以使用加减乘除,以及满足交换律,但不满足结合律,所以在运算概率的过程,请一定牢记以下公式,或者学会绘图帮助你分析。

德摩根律

P ( A ∪ B ) = P ( A ˉ ∩ B ˉ ) = P ( A ˉ B ˉ ) P(A \cup B) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}\bar{B}) P(AB)=P(AˉBˉ)=P(AˉBˉ)

P ( A ∩ B  ̄ ) = P ( A ˉ ∪ B ˉ ) P(\overline{A \cap B}) = P(\bar{A} \cup \bar{B}) P(AB)=P(AˉBˉ)

加法公式

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) ? P ( A B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)?P(AB)

P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) ? P ( A B ) ? P ( A C ) ? P ( B C ) + P ( A B C ) P(A \cup B \cup C) =P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)+P(ABC)

减法公式

P ( A ? B ) = P ( A B ˉ ) = P ( A ? A B ) P(A - B) = P(A \bar{B}) = P(A - AB) P(A?B)=P(ABˉ)=P(A?AB)

对立事件

P ( A ) = P ( 1 ? A ˉ ) P(A) = P(1 - \bar{A}) P(A)=P(1?Aˉ)

独立事件

P ( A B ) = P ( A ? B ) P(AB) = P(A \cdot B) P(AB)=P(A?B)

1.3. 基本事件练习题

我们来做点练习题,试一试你是否已经理解了这些概念

1.3.1 例

设A,B,C是三个事件,且 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 / 4 P(A) = P(B) = P(C) = 1/4 P(A)=P(B)=P(C)=1/4 P ( A B ) = P ( B C ) = 0 P(AB) = P(BC) = 0 P(AB)=P(BC)=0, P ( A C ) = 1 / 8 P(AC) = 1/8 P(AC)=1/8 求A,B,C至少有一个发生的概率。

1.3.1 解

三个事件有一个发生,因此我们考虑三个事件共同包含的概率,则有

P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) ? P ( A C ) ? P ( B C ) ? P ( A B ) + P ( A B C ) P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AC) - P(BC) - P(AB) + P(ABC) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AC)?P(BC)?P(AB)+P(ABC)

代入概率值

= 5 / 8 + P ( A B C ) = 5/8 + P(ABC) =5/8+P(ABC)

因为从概率上讲, P ( A B C ) ≤ P ( A B ) = 0 P(ABC) \leq P(AB) = 0 P(ABC)P(AB)=0,所以最后结果是 5 / 8 5/8 5/8

1.3.2 例

已知 P ( A ) = 1 / 2 P(A) = 1/2 P(A)=1/2
A,若A、B互不相容,求 P ( A B ˉ ) P(A\bar{B}) P(ABˉ)
B,若 P ( A B ) = 1 / 8 P(AB) = 1/8 P(AB)=1/8,求 P ( A B ˉ ) P(A\bar{B}) P(ABˉ)

1.3.2 解

直接按公式来

A: P ( A B ˉ ) = P ( A ) ? P ( A B ) = 1 / 2 ? 0 = 1 / 2 P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB) = 1/2 - 0 = 1/2 P(ABˉ)=P(A)?P(AB)=1/2?0=1/2
B: P ( A B ˉ ) = P ( A ) ? P ( A B ) = 1 / 2 ? 1 / 8 = 3 / 8 P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB) = 1/2 - 1/8 = 3/8 P(ABˉ)=P(A)?P(AB)=1/2?1/8=3/8

1.3.3 例

A,B是两个事件

A:已知 A B ˉ = A ˉ B A\bar{B} = \bar{A} B ABˉ=AˉB,求证A=B
B:验证事件A或B恰有一个发生的概率,等于 P ( A ) + P ( B ) ? 2 P ( A B ) P(A) + P(B) - 2P(AB) P(A)+P(B)?2P(AB)

1.3.2 解

A:我们可以根据公式来

A B ˉ = A ˉ B A\bar{B} = \bar{A} B ABˉ=AˉB
A ? A B = B ? A B A - AB = B - AB A?AB=B?AB
于是就可以直接得到
A = B A = B A=B

B: A或B恰有一个发生的概率 → \rightarrow P ( A B ˉ ∪ A ˉ B ) = P ( A ) + P ( B ) ? 2 P ( A B ) P(A\bar{B} \cup \bar{A}B) = P(A) + P(B) - 2P(AB) P(ABˉAˉB)=P(A)+P(B)?2P(AB)

2. 古典概型

所谓古典概型,有两个比较常见的例子,一个是彩票抽奖,或者投骰子;另一个是从有限个元素中随机抽拿几个,比如从黑球和白球的盒子里拿几个球问其中有黑球几个的这类问题,所以你不必去记背它的数学定义,记住这几个例子就可以了。

由于古典概型大体都是这两种类型,所以需要记住两个不同的概率计算方式。

2.1. 抽取模型

这个的概念是从一堆样本中,随机抽取一个,它归属于某种类型的概率,因此

P ( A ) = 类 型 A 总 数 总 样 本 数 P(A) = \frac{类型A总数}{总样本数} P(A)=A?

2.2. 抽样模型

抽样,指的是从一堆样本中,随机抽取数个,问抽取方式、或排列组合方式,因此

C n m = n × ( n ? 1 ) × ? × ( n ? m + 1 ) m ! C_n^m = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m +1)}{m!} Cnm?=m!n×(n?1)×?×(n?m+1)?
= n ! m ! ( n ? m ! ) =\frac{n!}{m! (n-m!)} =m!(n?m!)n!?

例如,问从有4个黑球3个白球中,抽取3个球,正好出现2黑1白的概率:

P = C 4 2 C 3 1 C 7 3 = 4 ? 3 2 ? 1 3 1 7 ? 6 ? 5 3 ? 2 ? 1 = 18 35 P = \frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3} = \frac{\frac{4*3}{2*1} \frac{3}{1}}{\frac{7* 6 * 5}{3 * 2 * 1}} = \frac{18}{35} P=C73?C42?C31??=3?2?17?6?5?2?14?3?13??=3518?

需要注意的是以下情况:

  • C m m ? 1 = C m 1 C_m^{m-1} = C_m^1 Cmm?1?=Cm1?
  • 0 ! = 1 0! = 1 0!=1

2.3 练习题

一袋中有4白3黑球,按下列情况,求各自概率
A:从中每次取1个,有放回的取2次, 都是白球的概率。
B:从中每次取1个,无放回的取2次, 都是白球的概率。
C:有放回的取3次,恰好是1白2黑的概率

A:
P ( 白 ∩ 白 ) = 4 7 × 4 7 = 16 49 P(白 \cap 白) = \frac{4}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{16}{49} P()=74?×74?=4916?

B:
P = C 4 2 C 7 2 = 4 ? 3 2 7 ? 6 2 = 2 7 P = \frac{C_4^2}{C_7^2} = \frac{\frac{4 * 3}{2}}{\frac{7 * 6}{2}} = \frac{2}{7} P=C72?C42??=27?6?24?3??=72?

C: 稍微有点烧脑,如果你画一下概率图,就大概能明白了
P = C 3 1 P ( 白 ∩ 黑 ∩ 黑 ) = 3 4 7 3 7 3 7 = 108 343 P = C_3^1 P(白 \cap 黑 \cap 黑) = 3\frac{4}{7} \frac{3}{7} \frac{3}{7}= \frac{108}{343} P=C31?P()=374?73?73?=343108?

3. 几何概型

很简单,我直接上一道例题好了

3.1. 练习

如果 x ∈ [ 1 , 6 ] x \in [1, 6] x[1,6], 那么 2 < x < 5 2 < x < 5 2<x<5的概率是多少

在这里插入图片描述

答 3/5

关于几何概型的更多资料,你可以参考百度百科的相关文献:

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加:2021-07-07 00:00:15  更:2021-07-07 00:00:19 
 
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