写在前头

??本系列博客主要是对我大三这一年学到的知识整理，参考课程的ppt和林轩田老师的机器学习基石，侵删

1.感知器算法简介

??感知器算法主要用于线性可分特征向量的二分类问题。算法的核心是两个要点，一是线性可分，二是二分类（可以1vN或者1v1拓展至多类，暂且不讨论）。

??要说线性可分，首先需要明确什么是特征向量。特征向量就是原始数据经过特征提取算法之后生成的一个高维的向量，你可以认为它的每一个维度表示了目标的一个属性。例如：

Alt 输入是一个图像，而输出是一个d维的向量，中间是不同的特征提取算法（像素，主成分分析，词袋等等）。而线性可分指的就是有一条高维的直线（超平面），可以让两类数据分别置于超平面的两侧。而既然分类面是一个超平面，那么分类的结果只能是平面的一侧和另一侧中的一个，也就是一个二分类。我们假设特征向量是一个二维的特征向量，线性可分和不可分的例子如下：
Alt 上图的x轴和y轴分别是特征向量的两个维度，而黑色的线就是分界面。可以很直观地感到第一张图是线性可分，而二是线性不可分，三的分界面是一个曲线，因此也是线性不可分。

??由此，我们可以定义分界面的函数。从最简单的二维说起，我们知道一条二维直线可以表示为 $a x + b y + c = 0$ ,那么，我们就可以定义评估函数 $g(x) = w_1x_1 + w_2x_2 + w_0$
这个评估函数就代表了了上面的那条直线，当 $g (x) > 0$ ,可以说特征向量位于分界面的正侧，当 $g (x) < 0$ ，可以说特征向量位于分界面的负侧，否则就在分界面上。将这个二维的分界面（直线），推广到高维，那么他就是一个超平面了： $\sum_{i=1}^dw_ix_i + w_0$
将 $x$ 拓展一维 $x_0 = 1$ ，就可以化为更简单的形式 $\sum_{i=0}^dw_ix_i$
最后我们使用一个 $s i g n$ 函数，就可以完成分类的判别： $y(x) = sign(w^Tx)$
其中 $w$ 是写成列向量形式的权重， $y (x)$ 是判别的结果，1为正样本，-1为负样本。

2.Perceptron Learning Algorithm（PLA）

??这一节，我将说明感知器学习算法（PLA）是如何找到这一个分类面的。

2.1权重向量和特征向量到分类面的距离

??首先是权重向量，从上节的推导中不难看出， $w$ 显然是垂直于这个分界面 $g (x) = 0$ 的，证明方法很简单，只需要任取两个在 $g (x) = 0$ 上的向量 $\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{x_2}$ 带入 $g(x) = w^Tx + w_0$ 做差即可得到 $w^T \cdot (x_1 - x_2) = 0$ ,即 $w$ 是分界面的法向量。

??特征向量 $\overrightarrow{x}$ 到分类面的距离也可以由 $g (x)$ 得到：设 $\overrightarrow{x_1}$ 是分界面上的点， $\overrightarrow{x_1x}$ 垂直于 $g (x) = 0$ ,那么 $\overrightarrow{x}$ 就可以写作 $\overrightarrow{x_1} + \overrightarrow{x_1x}$ ,从而得到 $g(\overrightarrow{x}) = g(\overrightarrow{x_1x})+g(\overrightarrow{x_1x}) = g(\overrightarrow{x_1x})$ ，而 $\overrightarrow{x_1x}$ 垂直于分界面，因此可以得到距离
$\frac{g( \overrightarrow{x})}{\|w\|}$
距离函数是很重要的，在进行聚类算法的时候会大量地使用距离函数进行判别。上式的证明过程用下图可以更加直观地表示：在这里插入图片描述

2.2PLA的原理和流程

??我们采用 $\hat{y}(x) = sign(w^Tx)$ 来进行推导， $w^Tx$ 可以看做是向量内积，因此可以写成 $\|w\|\cdot\|x\| * cos<w,x>$ 显然，当夹角大于90时，会被判成负样本，反之则为正样本。而PLA算法的根本思想，就是从错误的样本出发，修正分界面，不断迭代，直到收敛。
??下面我们来看看PLA是如何进行修正的，如果一个样本 $x_n$ 错分了，那么下一个 $w$ 的表达式就是
$w_{t+1} = w_t + y_n * x_n$
上式可以看做 $w_t$ 和 $y_n * x_n$ 这两个向量的合成，当 $x_n$ 被错分成负样本的时候( $y_n = 1$ , $\hat{y}_n = -1$ )，夹角大于九十度，合成之后 $w_{t+1}$ 与 $x_n$ 的夹角就会变小，更有可能将它分成正样本。当 $x_n$ 被错分成正样本的时候，道理是一样的。因此，PLA的流程就很明确了：

令 $t = 0, 1, 2 \dots$
??1.找到 $w_t$ 错分的样本( $x_n, y_n$ )
??2. $w_{t+1} = w_t + y_n \cdot x_n$
如此迭代直到所有的样本均分类正确

2.3PLA的收敛性证明

??有了PLA的流程，我们会有一个疑问，这么做到底会不会收敛呢？如果是线性可分的数据集，答案是一定可以收敛，并且在常数时间内收敛。下面我们来证明:

若样本集线性可分，那么一定存在一个最佳的分类面 $w_f$ ，使得 $y_nw_f^Tx_n >0$ 对任意( $x_n,y_n$ )都成立，即 $y_nw_f^Tx_n \geqslant\underset{n}{ \operatorname{min}}(y_nw_f^Tx_n)>0$
在一次迭代后:
$\begin{aligned} w_{f}^{T} \cdot w_{t+1} &= w_f^T\cdot w_{t} + w_f^Ty_nx_n \\ &\geqslant w_f^T \cdot w_{t} +\underset{n}{\min}(y_nw_f^Tx_n) \\ & >w_f^T\cdot w_{t} \end{aligned}$
因此 $w_f^T \cdot w_t$ 的值是在不断变大的，说明这两个向量在不断接近。
另一方面，由于只更新错分的样本,因此对于错误样本 $x_n, y_n)$ , $y_{n} w_{t}^{T} x_{n} \leq 0$
$\begin{aligned} \left\|w_{t+1}\right\|^{2} &=\left\|w_{t}+y_{n} x_{n}\right\|^{2} \\ &=\left\|w_{t}\right\|^{2}+2 y_{n} w_{t}^{T}x_{n}+\left\|y_{n} x_{n}\right\|^{2} \\ & \leq\left\|w_{t}\right\|^{2}+0+\left\|y_{n}x_{n}\right\|^{2} \\ & \leq\left\|w_{t}\right\|^{2}+\max _{n}\left\| x_{n}\right\|^{2} \end{aligned}$
假设从w=0开始迭代，结合上面两个式子，则有
$\frac{w_{f}^{T}}{\left\|w_{f}\right\|} \frac{w_{T}}{\left\|w_{T}\right\|} \geq \frac{T \cdot \underset{n}{\min}(y_nw_f^Tx_n) }{\left\|w_{f}\right\| \cdot \sqrt{T} \cdot \underset{n}{\max}\left\| x_{n}\right\|^{2}} = \sqrt{T} \cdot \text { constant }$
可以证明迭代次数 $T$ 有上确界