简单过了一遍高数线代概率论数理统计的知识后，进入了随机过程和拒绝采样，MCMC采样方法的学习。
绘制Rosenbrock函数图并寻找局部最小值和全局最小值
给定下述Rosenbrock函数
f
(
x
)
=
(
a
?
x
1
)
2
+
b
?
(
x
2
?
x
1
2
)
2
f(x)=(a-x_1)^2+b*(x_2-x_{1}^{2})^2
f(x)=(a?x1?)2+b?(x2??x12?)2，其中
a
,
b
∈
R
2
a,b\in R^2
a,b∈R2。试编写程序完成下述工作：
1）为不同的a,b取值，绘制该函数的3D表面。请问 a,b取值对该表面形状有大的影响吗？所谓大影响就是形状不再相似。对a,b的取值区间，能否大致给出一个分类。
解：
| a ∈ R a \in R a∈R | |
|---|---|
| b ∈ ( ? ∞ , 0 ) b\in(-\infty ,0) b∈(?∞,0) | 开口向下的曲面 |
| b = 0 b=0 b=0 | 斜平面 |
| b ∈ ( 0 , ∞ ) b\in(0 ,\infty) b∈(0,∞) | 开口向上的曲面 |
拒绝采样
对于概率分布不是常见的分布，一个可行的办法是采用接受-拒绝采样来得到该分布的样本。既然 p(x) 太复杂在程序中没法直接采样，那么我设定一个程序可采样的分布 q(x) 比如高斯分布，然后按照一定的方法拒绝某些样本，以达到接近 p(x) 分布的目的，其中q(x)叫做 proposal distribution。
具体采样过程如下：
- 设定一个方便采样的常用概率分布函数 q(x)，以及一个常量 k，使得 p(x) 总在
k ? ( q ( z 0 ) ) k*(q(z_0)) k?(q(z0?)) 的下方。如上图。 - 首先，采样得到q(x)的一个样本 z 0 z_0 z0?
- 从均匀分布 [ 0 , k ? ( q ( z 0 ) ] [0,k*(q(z_0)] [0,k?(q(z0?)]中采样得到一个值u
- 如果u落在了上图中的灰色区域，则拒绝这次抽样，否则接受这个样本z0（即可认为这个样本是p（x）采样得到的样本）
- 重复以上过程得到n个接受的样本
z
0
,
z
1
,
.
.
.
,
z
n
?
1
z_0,z_1,...,z_{n?1}
z0?,z1?,...,zn?1?,则最后的蒙特卡罗方法求解结果为：
1 n ∑ i = 0 n ? 1 f ( z i ) p ( z i ) \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(z_i)}{p(z_i)} n1?i=0∑n?1?p(zi?)f(zi?)?
整个过程中，我们通过一系列的接受拒绝决策来达到用q(x)模拟p(x)概率分布的目的。
MCMC采样
MCMC是什么？
作为一种随机采样方法，马尔科夫链蒙特卡罗（Markov Chain Monte Carlo，以下简称MCMC）是马尔可夫链与蒙特卡罗方法这2个采样方法的结合。在机器学习,深度学习以及自然语言处理等领域都有广泛的应用，是很多复杂算法求解的基础。
蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法是一种随机模拟的方法，最初的蒙特卡罗方法正如我们第一次在概率论课本的计算pi的“蒲丰投针”实验，主要用于测算不太好求解的求和、积分问题等。以[a,b]上 f ( x ) f(x) f(x)的积分问题为例，蒙特卡罗方法就是采样[a,b]区间的n个值：x0,x1,…xn?1,用它们的均值来代表[a,b]区间上所有的f(x)的值，这样定积分求解问题便简化为 b ? a n ∑ i = 0 n ? 1 f ( x i ) \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i) nb?a?i=0∑n?1?f(xi?)
虽然上面的方法可以一定程度上求解出近似的解，但是它隐含了一个假定，即x在[a,b]之间是均匀分布的，而绝大部分情况，x在[a,b]之间不是均匀分布的。如果我们用上面的方法，则模拟求出的结果很可能和真实值相差甚远。
怎么解决这个问题呢？ 如果我们可以得到x在[a,b]的概率分布函数
p
(
x
)
p(x)
p(x)，那么我们的定积分求和可以这样进行：
θ
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
p
(
x
)
p
(
x
)
d
x
≈
1
n
∑
i
=
0
n
?
1
f
(
x
i
)
p
(
x
i
)
\theta=\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{b} \frac{f(x)}{p(x)}p(x)dx\approx \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(x_i)}{p(x_i)}
θ=∫ab?f(x)dx=∫ab?p(x)f(x)?p(x)dx≈n1?i=0∑n?1?p(xi?)f(xi?)?
上式最右边的这个形式就是蒙特卡罗方法的一般形式。当然这里是连续函数形式的蒙特卡罗方法，但是在离散时一样成立。
马氏链
就是马尔可夫链，特征是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。