高等数学
1 函数
1.1 函数的定义
1.2 反函数
1.3 复合函数
2 导数
2.1 引例
引例1：已知位移求瞬时速度
引例2：曲线的切线
2.2 导数的定义
2.3 函数的求导法则
3 多元函数
3.1 多元函数的相关概念
（1）n维空间：元素集合、满足线性运算、距离公式
（2）二元函数：
3.2 多元函数的偏导数
3.3 梯度向量
梯度表示某一函数在该点处的方向导数取得最大值，即函数在该点处沿梯度方向变化最快，变化率最大（为该梯度的模）
梯度的计算：由各个偏导数组成的向量
3.4 雅克比矩阵
雅可比矩阵的计算：由m个函数对n个变量求偏导组成的矩阵，每一行为一个函数的梯度
3.5 黑塞矩阵
由多元函数的二阶偏导数组成矩阵
由对梯度向量的每个分量再次求梯度得到，第二次求梯度形成的是行向量
4 函数的极值问题
4.1 函数的极值与最值的概念
极值：局部性最值
4.2 最优性条件
一元函数框架下：利用一阶导数或者二阶导数信息
多元函数框架下：令梯度为0求驻点，判断黑塞矩阵的正定性
4.3 求带等式约束的优化问题(拉格朗日乘数法)
线性代数
1 向量空间
2 向量及其内积
内积：
线性相关与线性无关
施密特正交化：将线性无关的向量组变成正交向量组
3 向量范数
目的：描述向量的程度
种类：1-范数、2-范数、-范数
性质：正定性、齐次性、三角不等式
4 矩阵及其秩
矩阵元素
矩阵加法
矩阵数乘
矩阵乘法：结果矩阵的元素组成为行向量与列向量的内积
行列式：矩阵A中的所有取自不同行不同列的nn个元素的乘积的代数和，度量变换前后的“幅度”
行列式的计算：按行（或列）展开公式，等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和。
矩阵的秩：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩。极大无关组的向量个数
伴随矩阵：AA?=A?A=|A|E
可逆矩阵：AB=BA=E（单位矩阵）
正交矩阵：转置矩阵=可逆矩阵?A的列（行）向量组是正交规范向量组
5 矩阵范数
目的：描述矩阵所代表的线性变换对向量长度的最大拉伸倍数
分类：1-范数（列范数）、2-范数（谱范数）、-范数（行范数）
性质：正定性、齐次性、三角不等式、相容性
6 齐次线性方程组及其解空间
系数矩阵的秩：R(A)
基础解系的个数：n-R(A)
解空间：自由变量组成的空间
7 特征值与特征向量及矩阵的迹
计算特征值：求解特征方程
计算特征向量：求解特征方程组
迹：矩阵的主对角线上元素的和（相似矩阵迹相同），几何意义是行列式变化幅度的速度
矩阵相似：，不同坐标系下，A与B具有相同变换效果
矩阵对角化：，不同坐标系下，与矩阵有相同变化效果的对角矩阵
矩阵可对角化的条件：矩阵有n个线性无关的特征向量
8 二次型
二次齐次多项式转换为实对称矩阵进行研究
矩阵的合同：
正定二次型的判别：特征值都是正数
概率论与数理统计
1 随机事件与概率
1.1 基础概念
样本点和样本空间
基本事件和随机事件
1.2 随机事件与概率
1.3 条件概率
1.4 事件的独立性
2 全概率公式和贝叶斯公式
2.1 全概率公式
已知条件，求结果概率
2.2 贝叶斯公式
已知结果，求条件概率
3 随机变量
3.1 随机变量
包括离散型随机变量和连续型随机变量
3.2 概率分布
离散随机变量：伯努利分布、二项分布
连续随机变量：均匀分布、指数分布、正态分布
3.3 累积分布函数
4 随机向量
4.1 离散型随机向量
4.2 连续型随机向量
4.3 边际分布
4.4 条件概率分布
4.5 独立与条件独立
4.6 期望与方差
4.7 Jensen不等式
4.8 大数定律
样本均值收敛到总体均值，即期望
4.9 中心极限定理
当样本量足够大时，样本均值的分布趋向于正态分布
数理统计
1 参数估计
1.1 统计量
（1）总体与样本
1.2 贝叶斯估计与极大似然估计
贝叶斯估计：假定参数是一个随机变量
极大似然估计：假定参数是一个未知常数