Task02 回归

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回归

定义和例子比较简单，不详细介绍。主要总结一下相关理解和注意点。

模型步骤

step1：模型假设，选择模型
- 可以选择线性模型，一元的或多元的
- ps：线性模型不仅仅只是一次的，也可以是n次的以及其他交叉的，只需将 xⁿ 看作是一个特征即可
step2：模型评估，如何判断众多模型的好坏（损失函数）
- 对于线性回归选择误差平方和即可
- ps：这是一个凸函数，故在用gradient descent寻找最优参数时一定可以找到
step3：模型优化，如何筛选最优的模型（梯度下降）
- 优化目标即找到使loss最小的function或者w,b
- 梯度下降具体做法：
- 梯度下降可视化过程：
- 梯度下降的理解及存在的问题：
  - 参数更新主要取决于梯度的大小和学习率即步长，直观上，梯度越大的地方参数更新幅度也越大，学习率越大参数更新幅度也越大
  - 梯度下降不仅仅适用于线性回归中的损失函数更新参数，对于任何可微的损失函数都适用
  - 对于损失函数为凸函数的问题，梯度下降总能找到global minima
  - 对于复杂的损失函数问题，梯度下降容易陷入local minima，尤其受到初始值和学习率的影响
  - 容易陷入鞍点，停止更新

过拟合问题overfiting

模型在训练集上过拟合的问题：即在训练集上面表现更为优秀的模型，在测试集上效果反而变差。或者说泛化能力generalization不够好。

错误率结果图形化展示发现过拟合问题：

如何解决或者降低过拟合

使用多个模型结合，如使用多个线性模型合并成的线性模型
引入更多特征参数，更多数据input
在损失函数中加入正则化限制参数w的大小
- 常见的有L1正则化和L2正则化
- w越小，意味着function越平滑
- 正则化参数 $\lambda$ 越大，training error考虑的比重就越低
- 在很多应用场景中，并不是 w 越小模型越平滑越好，但是经验值告诉我们 w 越小大部分情况下都是好的
- bias 的值对曲线平滑没有影响，因此正则化项中并不包含 b

回归demo

使用朴素的constant learning rate梯度下降效果并不好，给b和w特制化两种learning rate：

# linear regression
b = -120
w = -4
lr = 1
iteration = 100000

b_history = [b]
w_history = [w]

lr_b=0
lr_w=0
import time
start = time.time()
for i in range(iteration):
    b_grad=0.0
    w_grad=0.0
    for n in range(len(x_data)):
        b_grad=b_grad-2.0*(y_data[n]-n-w*x_data[n])*1.0
        w_grad=w_grad-2.0*(y_data[n]-n-w*x_data[n])*x_data[n]
    
    lr_b=lr_b+b_grad**2
    lr_w=lr_w+w_grad**2
    # update param
    b -= lr/np.sqrt(lr_b) * b_grad
    w -= lr /np.sqrt(lr_w) * w_grad

    b_history.append(b)
    w_history.append(w)

# plot the figure
import matplotlib.pyplot as plt
plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet'))  # 填充等高线
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, mew=3, color="orange")
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$')
plt.ylabel(r'$w$')
plt.title("线性回归")
plt.show()