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[人工智能]李宏毅《机器学习》笔记3:梯度下降详解

上一章我们讲到,在做回归的时候,要对损失函数利用梯度下降的方法来求得最佳的参数以确定模型,本章将详细介绍梯度下降的原理和细节。

先来简单复习一下梯度下降,在求线性模型中的w和b值时,要求loss function尽可能小,于是我们做如下的迭代计算:
{ w i + 1 = w i ? η ? L ? W ∣ w = w i , b = b i b i + 1 = b i ? η ? L ? b ∣ w = w i , b = b i \left\{ \begin{array}{l} w_{i+1}=w_i-\eta \frac{\partial L}{\partial W}|_{w=w_i,b=b_i}\\ b_{i+1}=b_i-\eta \frac{\partial L}{\partial b}|_{w=w_i,b=b_i}\\ \end{array} \right. {wi+1?=wi??η?W?L?w=wi?,b=bi??bi+1?=bi??η?b?L?w=wi?,b=bi???

其中偏微分前面的常数称为学习率。

下面从几个方面来拆解梯度下降。

1.谨慎调整学习率

在这里插入图片描述

拿上图的例子来说,当我们调整学习率时,实际上是在调整每次梯度下降的移动步长。如红色线所示,这是最理想的状况,每次下降一个合适的步长,最终抵达最低点。但是我们不可能总是知道最优的学习率,于是也会出现蓝色线的情况,即调整的学习率偏小了,每次移动步长太短,梯度下降的效率就变慢了。当然也会出现绿色线或黄色线的情况,当学习率偏高时,绿色线直接卡在曲线中间,无法继续下降,而黄色线一开始便远离最低点。

右图展现了当每次参数更新时,loss function的值随着参数更新的变化情况。

● Adagrad算法

Adagrad算法做的工作其实很简单,就是把原来的学习率都除以之前微分的均方根。即:
在这里插入图片描述

化简后:

在这里插入图片描述

但是这里有一项看似矛盾地方:当微分值,也就是g较大的时候,其下降的步长也较大,同时均方根也偏大,就导致前面学习率/均方根这一项偏小,这又意味着其步长应该较小。。。。怎么理解这件事呢?如下图解释:

在这里插入图片描述

我们注意到步长的式子中:分子刚好是y对x的一阶偏导(对于多元函数),分母其实就是二阶偏导,这并非巧合!

在这里插入图片描述

所以结论是:最好的步长应该正比于一次微分,反比于二次微分!

2.随机梯度下降法

在这里插入图片描述

如上图左边所示:这是采取传统梯度下降法的可视化图,比如这里有20个training data,对于之前的梯度下降算法来说,我们是先对所有数据进行处理,得到损失函数,然后进行梯度下降。而右边的图则是随机梯度下降算法,每次仅计算某一个例子的损失函数,紧接着就梯度下降。这样做的好处是:时间花销与内存花销都大幅度减少,虽然最终的结果相较于批量梯度下降法的结果未必是精确的,但实验表明其结果总是在最优值附近,在很多情况下,这是人为允许的。

3.特征缩放

考虑函数:
y = b + w 1 x 1 + w 2 x 2 y=b+w_1x_1+w_2x_2 y=b+w1?x1?+w2?x2?
当x1,x2输入的数据分布范围不同时,建议先将他们的范围缩放。

在这里插入图片描述

具体操作如下图:

在这里插入图片描述

梯度下降的理论基础

关于这部分,可以用多元泰勒公式进行推导,也可以用高数课本上的方向导数来理解,具体推导在此就不再赘述。

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加:2021-07-17 11:54:48  更:2021-07-17 11:57:06 
 
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