二元关系作业
- A = { 1 , 2 , 5 , 8 , 9 } \textbf{A} = \{1,2,5,8,9\} A={1,2,5,8,9}，“模2同余”的关系为 R = { ( a , b ) ∈ A × A ∣ a ? m o d ? 3 = b ? m o d ? 3 } = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 9 ) , ( 5 , 5 ) , ( 5 , 9 ) , ( 9 , 9 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 8 ) , ( 8 , 8 ) } \mathbf{R}=\{(a,b)\in\mathbf{A}\times\mathbf{A}\vert a \, mod \, 3 =b \, mod \, 3\}= \{(1,1),(1,5),(1,9),(5,5),(5,9),(9,9),(2,2),(2,8),(8,8)\} R={(a,b)∈A×A∣amod3=bmod3}={(1,1),(1,5),(1,9),(5,5),(5,9),(9,9),(2,2),(2,8),(8,8)}相应的划分为 P = { { 1 , 5 , 9 } , { 2 , 8 } } \mathcal{P}=\{\{1,5,9\},\{2,8\}\} P={{1,5,9},{2,8}}
-
A
=
{
1
,
2
,
5
,
8
,
9
}
\textbf{A}=\{1,2,5,8,9\}
A={1,2,5,8,9}，令
R
1
=
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
A
∣
a
<
y
}
=
{
(
1
,
2
)
,
(
1
,
5
)
?
?
,
(
2
,
5
)
,
(
2
,
8
)
,
?
?
,
(
5
,
8
)
,
(
5
,
9
)
,
(
8
,
9
)
}
，
\textbf{R}_1=\{(a,b) \in \textbf{A} \times \textbf{A} \vert a < y \} =\{(1,2),(1,5)\cdots,(2,5),(2,8),\cdots,(5,8),(5,9),(8,9)\}，
R1?={(a,b)∈A×A∣a<y}={(1,2),(1,5)?,(2,5),(2,8),?,(5,8),(5,9),(8,9)}，
R
2
=
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
A
∣
a
=
b
}
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
5
,
5
)
,
(
8
,
8
)
,
(
9
,
9
)
}
，
\textbf{R}_2=\{(a,b) \in \textbf{A} \times \textbf{A} \vert a=b\}=\{(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)\}，
R2?={(a,b)∈A×A∣a=b}={(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)}，则
R
1
R
2
=
{
(
1
,
2
)
,
(
1
,
5
)
,
?
?
}
=
R
1
，
\mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2 =\{(1,2),(1,5),\cdots\}=\mathbf{R}_1，
R1?R2?={(1,2),(1,5),?}=R1?，
R
1
+
=
{
(
1
,
2
)
,
(
1
,
5
)
,
?
?
,
(
8
,
9
)
}
∪
{
(
1
,
5
)
,
(
1
,
8
)
,
?
?
,
(
5
,
9
)
}
∪
{
(
1
,
8
)
,
(
1
,
9
)
,
?
?
,
(
2
,
9
)
}
∪
{
(
1
,
9
)
}
=
R
1
，
\mathbf{R}_1^+=\{(1,2),(1,5),\cdots,(8,9)\} \cup \{(1,5),(1,8),\cdots,(5,9)\} \cup \{(1,8),(1,9),\cdots,(2,9)\} \cup \{(1,9)\} = \mathbf{R}_1，
R1+?={(1,2),(1,5),?,(8,9)}∪{(1,5),(1,8),?,(5,9)}∪{(1,8),(1,9),?,(2,9)}∪{(1,9)}=R1?，
R
1
?
=
R
1
+
∪
A
0
=
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
A
∣
a
≤
y
}
\mathbf{R}^*_1 = \mathbf{R}^+_1 \cup \mathbf{A}^0 = \{(a,b) \in \textbf{A} \times \textbf{A} \vert a \leq y \}
R1??=R1+?∪A0={(a,b)∈A×A∣a≤y}
关 系 图 G R 1 关系图G_{\textbf{R}_1} 关系图GR1?? - 粗糙集上下近似的定义：不同于集合元素确定的精确集，在粗糙集中无法确定某些元素是否一定属于这个集合。对于粗糙集中确定属于粗糙集的集合，用下近似来表示。而对于粗糙集外所有可能属于粗糙集的集合，用上近似来表示。即：
下近似集是在那些所有的包含于粗糙集的知识库中的集合求并得到的（包含在粗糙集内的最大可定义集）
上近似集是将那些包含粗糙集的知识库中的集合求并得到的（包含粗糙集的最小可定义集）
对函数的理解
函数在数学中指两不为空集的集合间的一种映射关系：输入值集合中的每项元素皆能对应??唯一一项输出值集合中的元素。虽然在常见的函数中输入值和输出值都是数值，但实际上函数是一种抽象的数学关系，其输入输出值的类型并没有特别要求，可以是数值，集合或函数等（泛函或算子）。从这点上看函数的范围比集合论中的关系范围更广。
范数计算
设矩阵
A
=
[
?
1
?
2
?
3
0
1
2
3
2
1
]
，
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix}，
A=????103??212??321????，
其
l
0
l_0
l0?范数为
∥
A
∥
0
=
8
，
\|\mathbf{A}\|_0=8，
∥A∥0?=8，
l
1
l_1
l1?范数为
∥
A
∥
1
=
3
，
\|\mathbf{A}\|_1=3，
∥A∥1?=3，
l
2
l_2
l2?范数为
∥
A
∥
2
=
33
，
\|\mathbf{A}\|_2=\sqrt{33}，
∥A∥2?=33?，
l
∞
l_\infin
l∞?范数为
∥
A
∥
∞
=
3
。
\|\mathbf{A}\|_\infin = 3。
∥A∥∞?=3。
优化目标解释
优化目标为
min
?
∑
(
i
,
j
)
∈
Ω
(
f
(
x
i
,
t
j
)
?
r
i
j
)
2
，
\min \sum_{(i,j)\in \Omega}(f(\mathbf{x}_i,\mathbf{t}_j)-r_{ij})^2，
min(i,j)∈Ω∑?(f(xi?,tj?)?rij?)2，
其中
r
i
j
r_{ij}
rij?表示用户
i
i
i对商品
j
j
j的浏览情况，取值范围为
{
0
,
1
}
\{0,1\}
{0,1}，
r
i
j
=
0
r_{ij}=0
rij?=0表示浏览过，
r
i
j
=
1
r_{ij}=1
rij?=1表示未浏览过，
n
n
n个用户对
m
m
m个商品的浏览情况共同组成浏览矩阵
R
=
(
r
i
j
)
n
×
m
\mathbf{R}=(r_{ij})_{n\times m}
R=(rij?)n×m?；
Ω
\Omega
Ω为评分表
R
\mathbf{R}
R中非零元素对应的位置集合；
x
i
\mathbf{x}_i
xi?表示用户
i
i
i的信息，长度为
d
u
d_u
du?；
t
j
\mathbf{t}_j
tj?表示商品
j
j
j的信息，长度为
d
t
d_t
dt?；函数
f
:
R
d
u
×
R
d
t
→
R
f:R^{d_u} \times R^{d_t} \to R
f:Rdu?×Rdt?→R为需要学习的目标。
优化目标为最小化训练集上的MSE（仅考虑有浏览情况的用户商品组合），使得
f
(
x
i
,
t
j
)
f(\mathbf{x}_i,\mathbf{t}_j)
f(xi?,tj?)与
r
i
j
r_{ij}
rij?的平均差距尽可能小，即学习到能根据用户信息和商品信息判断/预测浏览情况的函数，从而为用户推荐其最有可能浏览的商品。