魔鬼训练作业
- 描述你在学习、使用数学表达式时的困难, 可举例说明。
- 部分符号不知道用latex如何表达（推荐一个网站可以识别手写体http://webdemo.myscript.com/views/math/index.html）
- 在表示乘法关系时，区别
×
\times
× 与
?
\ast
?
- 部分表达方式跟中小学的数学课程有差异，比如( ) [] {}的使用（已解答）。
-
令
A
=
{
3
,
5
}
\mathbf{A}=\{3,5\}
A={3,5}, 写出
2
A
2^\mathbf{A}
2A. ?
2
A
=
{
?
,
{
3
}
,
{
5
}
,
{
3
,
5
}
}
2^\mathbf{A}=\{ \emptyset, \{3\}, \{5\}, \{3,5\} \}
2A={?,{3},{5},{3,5}} -
展开
2
?
2^\emptyset
2?.
2
?
=
?
2^\emptyset=\emptyset
2?=? -
令
A
=
{
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
\mathbf{A}=\{5,6,7,8,9\}
A={5,6,7,8,9},写出
A
\mathbf{A}
A的其他两种表示法。
? 集合主要有两种表示方法，分别是枚举法、谓词法、和图示法，题目中使用的是枚举法。
- 谓词法：
A
=
{
x
∣
x
∈
N
,
5
≤
x
≤
9
}
\mathbf{A}=\{x | x \in \mathbf{N},5\le x\le9\}
A={x∣x∈N,5≤x≤9} 或者
A
=
{
x
∈
N
∣
5
≤
x
≤
9
}
\mathbf{A}=\{x \in \mathbf{N}|5\le x\le9\}
A={x∈N∣5≤x≤9}
- 图示法：略
? 总结：
A
的
幂
集
2
A
，
其
实
就
是
A
的
所
有
子
集
\mathbf{A} 的幂集2^\mathbf{A}， 其实就是\mathbf{A}的所有子集
A的幂集2A，其实就是A的所有子集。
题目：自己出数据，做一个
3
×
2
与
2
×
4
的
矩
阵
乘
法
3 \times 2 与 2 \times 4的矩阵乘法
3×2与2×4的矩阵乘法。
A
B
=
[
1
2
3
4
5
6
]
?
[
1
2
3
4
5
6
7
8
]
=
[
1
×
1
+
2
×
5
1
×
2
+
2
×
6
1
×
3
+
2
×
7
1
×
4
+
2
×
8
3
×
1
+
4
×
5
3
×
2
+
4
×
6
3
×
3
+
4
×
7
3
×
4
+
4
×
8
5
×
1
+
6
×
5
5
×
2
+
6
×
6
5
×
3
+
6
×
7
5
×
4
+
6
×
8
]
=
[
11
14
17
20
23
26
31
36
35
38
45
52
]
\mathbf{A}\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \\ 5 &6 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 5 &6 &7 &8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times{1} +2 \times{5}&1 \times{2}+2\times{6} &1 \times{3} +2 \times{7}&1 \times{4}+2\times{8} \\ 3 \times{1} +4 \times{5}&3 \times{2}+4\times{6} &3 \times{3} +4 \times{7}&3 \times{4}+4\times{8} \\ 5 \times{1} +6 \times{5}&5 \times{2}+6\times{6} &5 \times{3} +6 \times{7}&5 \times{4}+6\times{8} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 11 &14 &17 &20\\ 23 &26 &31 &36\\ 35 &38 &45 &52 \end{bmatrix}
AB=???135?246?????[15?26?37?48?]=???1×1+2×53×1+4×55×1+6×5?1×2+2×63×2+4×65×2+6×6?1×3+2×73×3+4×75×3+6×7?1×4+2×83×4+4×85×4+6×8????=???112335?142638?173145?203652????
-
令
A
=
{
1
,
2
,
5
,
8
,
9
}
\mathbf{A} = \{ 1 , 2 , 5 , 8 , 9 \}
A={1,2,5,8,9}, 写出
A
\mathbf{A}
A上的 “模 2 同余” 关系及相应的划分。
-
A
\mathbf{A}
A上的 “模 2 同余” 关系为
R
=
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
A
∣
a
m
o
d
??
2
=
b
m
o
d
??
2
}
=
{
(
1
,
5
)
,
(
1
,
9
)
,
(
5
,
9
)
,
(
2
,
8
)
}
\mathbf{R}=\{ (a,b) \in\mathbf{A} \times \mathbf{A} | a \mod{2}=b \mod 2\}=\{(1,5),(1,9),(5,9),(2,8)\}
R={(a,b)∈A×A∣amod2=bmod2}={(1,5),(1,9),(5,9),(2,8)}
- 相应的划分为
P
=
{
{
1
,
5
,
9
}
,
{
2
,
8
}
}
\mathcal{P}=\{\{1,5,9\},\{2,8\}\}
P={{1,5,9},{2,8}}
-
A
=
{
1
,
2
,
5
,
8
,
9
}
\mathbf{A} = \{1, 2, 5, 8, 9\}
A={1,2,5,8,9}, 自己给定两个关系
R
1
和
R
2
\mathbf{R}_1 和 \mathbf{R}_2
R1?和R2?，并计算
R
1
°
R
2
\mathbf{R}_1\circ \mathbf{R}_2
R1?°R2?,
R
1
+
,
R
1
?
\mathbf{R}_1^+, \mathbf{R}_1^\star
R1+?,R1??。
自定义系分别为
R
1
,
R
2
\mathbf{R_1},\mathbf{R_2}
R1?,R2?
R
1
=
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
B
∣
a
?
b
=
?
1
}
=
{
(
1
,
2
)
,
(
8
,
9
)
}
\mathbf{R_1}=\{(a,b) \in \mathbf{A} \times \mathbf{B} | a-b=-1\}=\{(1,2),(8,9)\}
R1?={(a,b)∈A×B∣a?b=?1}={(1,2),(8,9)}
R
2
=
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
B
∣
a
m
o
d
??
b
=
0
∧
a
≠
b
}
=
{
(
2
,
1
)
,
(
5
,
1
)
,
(
8
,
1
)
,
(
9
,
1
)
,
(
8
,
2
)
}
\mathbf{R}_2=\{(a,b) \in \mathbf{A} \times \mathbf{B}| a \mod b=0 \wedge a\neq b\}=\{(2,1),(5,1),(8,1),(9,1),(8,2)\}
R2?={(a,b)∈A×B∣amodb=0∧a?=b}={(2,1),(5,1),(8,1),(9,1),(8,2)}
R
1
°
R
2
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
2
)
}
\mathbf{R}_1\circ \mathbf{R}_2=\{(1,1),(2,1),(2,2)\}
R1?°R2?={(1,1),(2,1),(2,2)}
∣
A
∣
=
5
|\mathbf{A}|=5
∣A∣=5
R
1
0
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
5
,
5
)
,
(
8
,
8
)
,
(
9
,
9
)
}
\mathbf{R}_1^0=\{(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)\}
R10?={(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)}
R
1
1
=
{
(
1
,
2
)
,
(
8
,
9
)
}
\mathbf{R}_1^1=\{(1,2),(8,9)\}
R11?={(1,2),(8,9)}
R
1
2
=
R
1
3
=
R
1
4
=
R
1
5
=
?
\mathbf{R}_1^2=\mathbf{R}_1^3=\mathbf{R}_1^4=\mathbf{R}_1^5=\emptyset
R12?=R13?=R14?=R15?=?
R
1
+
=
?
i
=
1
∣
A
∣
R
i
=
{
(
1
,
2
)
,
(
8
,
9
)
}
\mathbf{R}_1^+=\bigcup_{i=1}^{|\mathbf{A}|}R^i=\{(1,2),(8,9)\}
R1+?=?i=1∣A∣?Ri={(1,2),(8,9)}
R
1
?
=
?
i
=
0
∣
A
∣
R
i
=
{
(
1
,
2
)
,
(
8
,
9
)
,
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
5
,
5
)
,
(
8
,
8
)
,
(
9
,
9
)
}
\mathbf{R}_1^\ast=\bigcup_{i=0}^{|\mathbf{A}|}R^i=\{(1,2),(8,9),(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)\}
R1??=?i=0∣A∣?Ri={(1,2),(8,9),(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)}
- 举例说明对函数的认识
函数即为用数学的方法描述了一种映射关系，包含三个要素，定义域、值域、和映射关系。就好比一个设备系统，送进原材料，加工成想要的产品，比如一个面包机，添入面粉和酵母，一段时间后就加工成白白胖胖的面包一样；也类似于软件代码中的一个方法（函数），输入参数，函数计算出返回值。例子中面包机只能接受面粉，而不能接受大米，就好比是函数的定义域，面包机只能加工成面包，而不能加工成蛋糕，就好比是函数的值域，这个加工过程就类似函数的映射关系。我理解，世间的万事万物之间的关系都可以用一个函数来表述，只不过函数的复杂程度不同罢了，有的关系已经被发现了，比如牛顿的第二运动定律等，就可以用一个函数表达式表述， 然而，还有很多未被发现和认识的关系。
机器学习就应该是用一种已知的函数关系推导出我们需要而又未知的函数关系。推到出的函数关系，就是用来分类事物和预测新的事件，而已知的函数关系就是我们正在研究算法，能掌握更多的这样的函数关系，也就能干更多种预测和分类的活，从已知函数模型到未知函数模型的推导，就交给了机器。（以上均为个人臆想，欢迎斧正）
- 自己给定一个矩阵并计算其各种范数
A
=
[
a
b
c
d
e
f
]
,
其
中
a
b
c
d
e
f
≠
0
\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a &b &c \\ d &e &f \end{bmatrix},其中abcdef \neq 0
A=[ad?be?cf?],其中abcdef?=0
∥
A
∥
0
=
6
\Vert\mathbf{A}\Vert_0=6
∥A∥0?=6
∥
A
∥
1
=
a
+
b
+
c
+
d
+
e
+
f
\Vert\mathbf{A}\Vert_1=a+b+c+d+e+f
∥A∥1?=a+b+c+d+e+f
∥
A
∥
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
+
e
2
+
f
2
\Vert\mathbf{A}\Vert_2=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2}
∥A∥2?=a2+b2+c2+d2+e2+f2
?
∥
A
∥
3
=
a
3
+
b
3
+
c
2
+
d
3
+
e
3
+
f
3
3
\Vert\mathbf{A}\Vert_3=\sqrt[3]{a^3+b^3+c^2+d^3+e^3+f^3}
∥A∥3?=3a3+b3+c2+d3+e3+f3
?
∥
A
∥
n
=
a
n
+
b
n
+
c
n
+
d
n
+
e
n
+
f
n
n
\Vert\mathbf{A}\Vert_n=\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n+d^n+e^n+f^n}
∥A∥n?=nan+bn+cn+dn+en+fn
?
解释 推荐系统: 问题、算法与研究思路 2.1 中的优化目标
min
?
∑
(
i
,
j
)
∈
Ω
(
f
(
x
i
,
t
j
)
?
r
i
j
)
2
\min \sum_{(i,j)\in \Omega}(f(\mathbf{x}_i,\mathbf{t}_j)-r_{ij})^2
min(i,j)∈Ω∑?(f(xi?,tj?)?rij?)2
应该是优化任务的目标函数，就是让预测值
f
(
x
i
,
t
j
)
f(\mathbf{x}_i,\mathbf{t}_j)
f(xi?,tj?)与真实值
r
i
j
r_{ij}
rij?差距（即绝对值）最小，也就可以用预测值代替真实值。而绝对函数在定义域上是不可导的，不方便通过梯度下降等方法寻找最小值，所以使用了2次方代替绝对值。
-
将向量下标为偶数的分量 (x2, x4, …) 累加, 写出相应表达式.
∑
i
=
2
,
4
?
x
i
\sum_{i=2,4\cdots}\mathbf{x}_i
∑i=2,4??xi? -
各出一道累加、累乘、积分表达式的习题, 并给出标准答案.
X
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
\mathbf{X}=\{1,2,3,4\}
X={1,2,3,4}
∑
i
=
1
,
x
i
∈
X
4
=
x
i
=
10
\sum_{i=1,x_i\in\mathbf{X}}^4=x_i=10
∑i=1,xi?∈X4?=xi?=10
∏
i
=
1
,
x
i
∈
X
4
=
x
i
=
24
\prod_{i=1,x_i\in\mathbf{X}}^4=x_i=24
∏i=1,xi?∈X4?=xi?=24
∫
1
3
x
2
d
x
=
9
\int_1^{3}x^2\mathrm{d}x=9
∫13?x2dx=9 -
你使用过三重累加吗? 描述一下其应用. 在做彩色图像相关处理时，常会遇到三维数据，图像的宽w高h和通道c。 -
给一个常用的定积分, 将手算结果与程序结果对比.
∫
1
3
x
2
d
x
=
8.6666
\int_1^{3}x^2\mathrm{d}x=8.6666
∫13?x2dx=8.6666 delta = 1e-5
x = 1.0
integration = 0
while x <= 3.0:
integration += x *x * delta
x += delta
print(x)
>>8.666626666761239
自己写一个小例子 (n =3，m=1) 来验证最小二乘法.
X
=
[
x
1
x
2
x
3
]
,
W
T
=
[
w
1
,
w
2
,
w
3
]
T
\mathbf{X}=\begin{bmatrix}x_1 &x_2 &x_3\end{bmatrix}, \mathbf{W}^\mathrm{T}={\begin{bmatrix}\mathbf{w_1},\mathbf{w_2},\mathbf{w_3}\end{bmatrix}^\mathrm{T}}
X=[x1??x2??x3??],WT=[w1?,w2?,w3??]T
|
x
1
x_1
x1? |
x
2
x_2
x2? |
x
3
x_3
x3? |
y
y
y |
|---|
| 1.2 | 3.2 | 3.1 | 3.6 | | 3.4 | 1.2 | 2.3 | 2.1 | | 5.3 | 3.4 | 5.1 | 3.6 |
预测模型为
f
(
x
,
w
)
=
X
W
f(x,w)=\mathbf{X}\mathbf{W}
f(x,w)=XW
? 优化目标函数为：
arg
?
min
?
w
(
f
(
x
i
)
?
y
i
)
2
=
(
1.2
w
1
+
3.2
w
2
+
3.1
w
3
?
3.6
)
2
+
(
3.4
w
1
+
1.2
w
2
+
2.3
w
3
?
2.1
)
2
+
(
5.3
w
1
+
3.4
w
2
+
5.1
w
3
?
3.6
)
2
\arg\min_w\left(f(x_i)-y_i\right)^2\\ =(1.2w_1+3.2w_2+3.1w_3-3.6)^2+(3.4w_1+1.2w_2+2.3w_3-2.1)^2+(5.3w_1+3.4w_2+5.1w_3-3.6)^2
argwmin?(f(xi?)?yi?)2=(1.2w1?+3.2w2?+3.1w3??3.6)2+(3.4w1?+1.2w2?+2.3w3??2.1)2+(5.3w1?+3.4w2?+5.1w3??3.6)2
? 解出
W
\mathbf{W}
W
自己推导一遍, 并描述这个方法的特点 (不少于 5 条).
|