[人工智能]深度学习--损失函数

均方差

$$E=1/2\sum _k(y_k?t_k{)}^2$$
y_k表示神经网络的输出，t_k表示监督数据，k表示数据的维度

y = [0.1,0.05,0.6,0.0,0.05,0.1,0.0,0.1,0.0,0.0]#softmax函数的输出值
t = [0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0]#正确的解是1，其他为0

数组元的索引从第一个开始依次对应的数字“0”，“1”，“2”，…。这里的y是神经网络的输出ysoftmax函数的输出。上述的列子可以表达“0”的概率是0.1，“1”的概率是0.05，“2”的概率是0.6。t是监督数据，将正确解的标签是1，其他的均为0
代码实现：

def mean_squared_error(y,t):
	return 0.5 * np.sum(y-t)**2

交叉熵误差

$$E=?\sum _k(t_{k}log{y}_k)$$
这里的log表示以e为底的自然对数(log_e)
代码实现：

def cross_entropy_error(y,t):
	dalta = le-7#表示10的-7次方
	return -np.sum(t * np.log(y+delta))

这里加上一个微小值delta,是因为np.log(0)时，会出现np.log(0)为负无穷大-inf,导致后面的结果无法运行

mini-batch

神经网络的学习是通过从训练集中选出一批数据（称为mini-batch,小批量），然后在对每一个mini-batch进行学习。比如，从60000个训练数据中随机选择100笔，在对100笔数据进行学习。

mini-batch版交叉熵误差

改良一下之前实现对应单数据的交叉熵误差。

def cross_entropy_error(y,t):
    if y.ndim == 1:
        t = t.reshape(1,t.size)
        y = y.reshape(1,y.size)
        
    batch_size = y.shape[0]
    return -np.sum(t * np.log(y + le-7)) / batch_size

此外当监督数据是标签形式(非one-hot表示，而是像“2”，“7”这样的标签时)，使用下面代码实现

def cross_entropy_error(y,t):
    if y.ndim == 1:
        t = t.reshape(1,t.size)
        y = y.reshape(1,y.size)
        
    batch_size = y.shape[0]
    return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size),t]+le-7) / batch_size