[人工智能]2021李宏毅机器学习笔记--18Unsupervised Learning -- Neighbor Embedding

摘要

本节是进行非线性降维的一些算法。包括局部线性嵌入LLE、拉普拉斯特征映射和t分布随机邻居嵌入t-SNE，其中t-SNE特别适用于可视化的应用场景。t-SNE其中NE就是Neighbor Embedding的缩写。

一、Manifold Learning(流形学习)

样本点的分布可能是在高维空间里的一个流形(Manifold)，也就是说，样本点其实是分布在低维空间里面，只是被扭曲地塞到了一个高维空间里

常见的例子就是地球，地球的表面就是一个流形(Manifold)，它是一个二维的平面，但是被塞到了一个三维空间里

如下图左，在一个高维的S形的空间图形中，如何判断几个点之间的距离。在Manifold中，只有距离很近的点欧氏距离(Euclidean Distance)才会成立，而在下图的S型曲面中，欧氏距离是无法判断两个样本点的相似程度的

而Manifold Learning要做的就是把这个S型曲面降维展开，把塞在高维空间里的低维空间摊平，此时使用欧氏距离就可以描述样本点之间的相似程度。

二、Locally Linear Embedding(LLE,局部线性嵌入)

局部线性嵌入，locally linear embedding，简称LLE

假设在原来的空间中，样本点的分布如下所示，我们关注$x^i$和它的邻居$x^j$，用$w_{ij}$来描述$x^i$?和$x^j$的关系

假设每一个样本点$x^i$都是可以用它的neighbor做linear combination组合而成，那$w_{ij}$就是拿$x^j$去组合$x^i$时的权重weight，因此找点与点的关系$w_{ij}$这个问题就转换成，找一组使得所有样本点与周围点线性组合的差距能够最小的参数 $w_{ij}$

接下来就要做Dimension Reduction，把$x^i$和 $x^j$降维到$z^i$和$z^j$，并且保持降维前后两个点之间的关系$w_{ij}$是不变的。

LLE的具体的步骤如下所示：

1、在原先的高维空间中先找到$x^i$和 $x^j$之间的关系$w_{ij}$以后就把它固定住

2、使$x^i$和 $x^j$降维到新的低维空间上的$z^i$和 $z^j$

3、$z^i$和 $z^j$需要minimize下面的式子：

即在原本的空间里$x^i$可以由周围点通过参数$w_{ij}$进行线性组合得到，则要求在降维后的空间里，$z^i$也可以用同样的线性组合得到

实际上，LLE并没有给出明确的降维函数，它没有明确地告诉我们怎么从$x^i$降维到$z^i$，只是给出了降维前后的约束条件

在实际应用LLE的时候，对$x^i$来说，需要选择合适的邻居点数目K才会得到好的结果

下图给出了原始paper中的实验结果，K太小或太大得到的结果都不太好，注意到在原先的空间里，只有距离很近的点之间的关系需要被保持住，如果K选的很大，就会选中一些由于空间扭曲才导致距离接近的点，而这些点的关系我们并不希望在降维后还能被保留

三、Laplacian Eigenmaps(拉普拉斯特征映射)

3.1 简介

拉普拉斯特征映射，Laplacian Eigenmaps
之前在semi-supervised learning有提到smoothness assumption，即我们仅知道两点之间的欧氏距离是不够的，还需要观察两个点在high density区域下的距离

如果两个点在high density的区域里比较近，那才算是真正的接近

我们依据某些规则把样本点建立graph，那么smoothness的距离就可以使用graph中连接两个点路径上的edges数来近似。

简单回顾一下在semi-supervised里的说法：如果两个点$x_1$和$x_2$在高密度区域上是相近的，那它们的label$y_1$和$y_2$很有可能是一样的
如上图所示公式L和S
其中$C(y^r,y^r)$表示labeled data项，λS表示unlabeled data项，它就像是一个regularization term，用于判断我们当前得到的label是否是smooth的

其中如果点$x_i$和$x_j$是相连的，则$w_{i,j}$?等于相似度，否则为0， S的表达式希望在$x_i$和$x_j$很接近的情况下，相似度 $w_{i,j}$很大，而label差距$\left|y^i?y^j\right|$越小越好，同时也是对label平滑度的一个衡量。

3.2 应用

降维的基本原则：如果$x_i$和$x_j$在high density区域上是相近的，即相似度$w_{i,j}$??很大，则降维后的$z_i$和$z_j$也需要很接近，总体来说就是让下面的式子尽可能小

$$S=\frac{1}{2}\sum _{?i,j}{w}_{i,j}(y^i?y^j{)}^2$$

注意，与LLE不同的是，这里的$w_{i,j}$表示$x_i$和$x_j$这两点的相似度，上式也可以写成$$S=\sum _{i,j}{w}_{i,j}||z^i?z^j|{|}_2$$

但光有上面这个式子是不够的，假如令所有的z相等，比如令$z_i$=$z_j$=0那上式就会直接停止更新

在semi-supervised中，如果所有label $z_i$都设成一样，会使得supervised部分的${\sum }_{x^r}C(y^r,y^r)$变得很大，因此lost就会很大，但在这里少了supervised的约束，因此我们需要给 z一些额外的约束：

1、假设降维后z所处的空间为M维，则 { $z^1$ ,$z^2$ , . . . ,$z^N$ } =$R^M$，我们希望降维后的 z z z占据整个 M维的空间，而不希望它活在一个比M更低维的空间里
2、最终解出来的z其实就是Graph Laplacian L比较小的特征值所对应的特征向量

这也是Laplacian Eigenmaps名称的由来，我们找的 z就是Laplacian matrix的特征向量

如果通过拉普拉斯特征映射找到z之后再对其利用K-means做聚类，就叫做谱聚类(spectral clustering)

3.3 短缺

这个方法只假设了相邻的点要接近，却没有假设不相近的点要分开。
所以在MNIST使用LLE会遇到下图的情形，它确实会把同一个class的点都聚集在一起，却没有办法避免不同class的点重叠在一个区域，这就会导致依旧无法区分不同class的现象

COIL-20数据集包含了同一张图片进行旋转之后的不同形态，对其使用LLE降维后得到的结果是，同一个圆圈代表同张图像旋转的不同姿态，但许多圆圈之间存在重叠。

四、t-SNE（T-distributed Stochastic Neighbor Embedding,t分布随机邻居嵌入）

4.1 简介

t-SNE，全称为T-distributed Stochastic Neighbor Embedding，t分布随机邻居嵌入

做t-SNE同样要降维，在原来 x的分布空间上，我们需要计算所有$x_i$和$x_j$之间的相似度$S(x^i,x^j)$

然后需要将其做归一化：$P(x^j|x^i)$的相似度占所有与$x_i$i相关的相似度的比例

将 x降维到 z，同样可以计算相似度$S^{\prime }(z^i,z^j)$，并做归一化：$Q(z^j|z^i)$
如下图公式所示

这里的归一化是有必要的，因为我们无法判断在 x和z所在的空间里，$S(x^i,x^j)$与$S^{\prime }(z^i,z^j)$的范围是否是一致的，需要将其映射到一个统一的概率区间

我们希望找到的投影空间 z，可以让$P(x^j|x^i)$和 $Q(z^j|z^i)$的分布越接近越好。

4.3 应用

t-SNE会计算所有样本点之间的相似度，运算量会比较大，当数据量大的时候跑起来效率会比较低

常见的做法是对原先的空间用类似PCA的方法先做一次降维，然后用t-SNE对这个简单降维空间再做一次更深层次的降维，以期减少运算量

值得注意的是，t-SNE的式子无法对新的样本点进行处理，一旦出现新的 $x^i$，就需要重新跑一遍该算法，所以t-SNE通常不是用来训练模型的，它更适合用于做基于固定数据的可视化

t-SNE常用于将固定的高维数据可视化到二维平面上

五、Similarity Measure(相似性度量)

如果根据欧氏距离计算降维前的相似度，往往采用RBF function(radial basis function,径向基函数)$S(x^i,x^j)=e^{?||x^i?x^j|{|}_2}$，这个表达式的好处是，只要两个样本点的欧氏距离稍微大一些，相似度就会下降得很快。

还有一种叫做SNE的方法，它在降维后的新空间采用与上述相同的相似度算法 $S^{\prime }(z^i,z^j)=e^{?||z^i?z^j|{|}_2}$

对t-SNE来说，它在降维后的新空间所采取的相似度算法是与之前不同的，它选取了t-distribution中的一种，即$S^{\prime }(z^i,z^j)=\frac{1}{1+||z^i?z^j|{|}_2}$

以下图为例，假设横轴代表了在原先 x空间上的欧氏距离或者做降维之后在z空间上的欧氏距离，红线代表RBF function，是降维前的分布；蓝线代表了t-distribution，是降维后的分布

1、你会发现，降维前后相似度从RBF function到t-distribution：
如果原先两个点距离($\Delta x$)比较近，则降维转换之后，它们的相似度( $\Delta y$)依旧是比较接近的
2、如果原先两个点距离( $\Delta x$)比较远，则降维转换之后，它们的相似度( $\Delta y$)会被拉得更远

也就是说t-SNE可以聚集相似的样本点，同时还会放大不同类别之间的距离，从而使得不同类别之间的分界线非常明显，特别适用于可视化，下图则是对MNIST和COIL-20先做PCA降维，再做t-SNE降维可视化的结果：

下面是一个对手写数字识别数据集进行t-SNE的动画(并不是使用MNIST)。因为是用Gradient Descent训练的，所以随着iteration的进行，点会被分的越来越开。

总结

本文主要介绍了三种非线性降维的算法：

1、LLE(Locally Linear Embedding)，局部线性嵌入算法，主要思想是降维前后，每个点与周围邻居的线性组合关系不变，$x^i=\sum _j{w}_{ij}{x}^j$、$z^i=\sum _j{w}_{ij}{z}^j$
2、Laplacian Eigenmaps，拉普拉斯特征映射，主要思想是在high density的区域，如果$x^i$、$x^j$这两个点相似度$w_{i,j}$高，则投影后的距离 $||z^i?z^j|{|}_2$要小
3、t-SNE(t-distribution Stochastic Neighbor Embedding)，t分布随机邻居嵌入，主要思想是，通过降维前后计算相似度由RBF function转换为t-distribution，在聚集相似点的同时，拉开不相似点的距离，比较适合用在数据固定的可视化领域