[人工智能]机器学习之特征选择（更新中）

1. 基于信息增益的方法

1.1. 信息熵

假设$X$是取有限个值 { x 1 , x 2 , ? ? , x n } \{x_1,x_2,\cdots,x_n\} {x1?,x2?,?,xn?}的随机变量，其概率分布为
$$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,n\text{\hspace{1em}(1-1)}$$
则速记变量$X$的熵定义为：
$$H(X)=?\sum _{i=1}^n{p}_{i}lo{g}_2{p}_i\text{\hspace{1em}(1-2)}$$
熵衡量了随机变量的不确定性，熵越大，随机变量的不确定性越大。利用一定数据计算出的熵，也叫经验熵。

1.2. 条件熵

设有随机变量$(X,Y)$，其联合概率分布为：
$$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij},i=1,2,?,n,j=1,2,?,m\text{\hspace{1em}(1-3)}$$
给定$X$的条件下，Y的条件熵定义为：
$$H(Y|X)=\sum _{i=1}^n{p}_{i}H(Y|X=x_i)\text{\hspace{1em}(1-4)}$$
其中$p_i=P(X=x_i),i=1,2,?,n$
条件熵衡量了已知一个随机变量的条件下，另一个随机变量的不确定性。利用一定数据计算出的条件熵，也叫条件经验熵。

1.3. 信息增益

特征$A$对数据集$D$的信息增益定义为：
$$g(D,A)=H(D)?H(D|A)\text{\hspace{1em}(1-5)}$$
一般用于分类问题，用于衡量特征$A$对$D$分类问题的不确定性的减少程度。

1.4. 信息增益在分类问题中的作用

记训练数据集为$D$,样本个数为$|D|$，有$K$个类别：$C_1,C_2,?,C_K$，$|C_k|$为属于类$C_k$的样本个数。假设特征$A$有$n$个不同的取值 { a 1 , a 2 , ? ? , a n } \{a_1,a_2,\cdots,a_n\} {a1?,a2?,?,an?}，根据这些取值可以将$D$划分为$n$个子集：$D_1,D_2,?,D_n$，$|D_i|$为属于$D_i$的样本个数。记在子集$D_i$中属于类别$C_k$的样本集合为$D_{ik}$,对应的样本个数为$|D_{ik}|$.
数据集$D$的经验熵为：
$$H(D)=?\sum _{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}lo{g}_2\frac{|C_k|}{|D|}\text{\hspace{1em}(1-6)}$$
给定特征$A$的条件经验熵为：
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? H(D|A)&=\sum_{…
再利用 { 1 ? 5 } \{1-5\} {1?5}即可计算出信息增益，用于评估特征$A$在分类问题中的作用