一、分类问题

1. 0-1损失函数(zero-one loss)

0-1损失是指预测值和目标值不相等为1，否则为0:
$f(X))=\left\{\begin{array}{l} 1, Y \neq f(X) \\ 0, Y=f(X) \end{array}\right.$
特点：

0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用.
感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足 $∣ Y ? f (x) ∣ < T$ 时认为相等，
$f(X))=\left\{\begin{array}{l} 1,|Y-f(X)| \geq T \\ 0,|Y=f(X)|<T \end{array}\right.$

2. Hinge 损失函数

Hinge损失函数标准形式如下：
$f(x))=\max (0,1-y f(x))$
特点：

hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为 $1 ? y f (x)$ 。SVM就是使用这个损失函数。
一般的 $f (x)$ 是预测值，在-1到1之间， $y$ 是目标值(-1或1)。其含义是， $f (x)$ 的值在-1和+1之间就可以了，并不鼓励 $∣ f (x) ∣ > 1$ ，即并不鼓励分类器过度自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励，从而使分类器可以更专注于整体的误差。
健壮性相对较高，对异常点、噪声不敏感，但它没太好的概率解释。

3. log对数损失函数

log对数损失函数的标准形式如下：
$\mid X))=-\log P(Y \mid X)$
特点：

log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。
健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感。
逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

4. Logistic损失

Logistic损失标准形式如下：
$L(y, f(x))=\log_2 (1+e^{-yf(x)})$
特点：

该函数处处光滑，可使用梯度下降法优化
但该函数对所有样本点都有惩罚，因此对异常值相对敏感。

5. 交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)

交叉熵损失函数的标准形式如下:
$f(x))=-\frac{1}{n} \sum_{x}[y \ln f(x)+(1-y) \ln (1-f(x))]$
特点：

本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。对数损失函数和交叉熵损失函数应该是等价的。
二分类问题中的loss函数如上（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）
多分类问题中的loss函数如下（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：
$\text { loss }=-\frac{1}{n} \sum_{i} y_{i} \ln a_{i}$
当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质。

二、回归问题

1. 绝对值损失函数

绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：
$L (Y, f (x)) = ∣ Y ? f (x) ∣$
特点：

绝对值损失相当于做中值回归，相比SE对异常点更鲁棒一些。
但在 $f = y$ 处无法求导

2. 平方损失函数

平方损失函数标准形式如下：
$\mid f(X))=\sum_{N}(Y-f(X))^{2}$
特点：

最常用的回归损失函数，函数光滑，可以使用梯度下降法优化，预测值与真实值越远惩罚越大，因此对异常点敏感。

3. Huber损失

Huber损失标准形式如下：
$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &(Y-f(X))^{2}, &|Y-f(X)| \leq\delta\\ &2\delta|Y-f(X)|-\delta^2, &|Y-f(X)| > \delta \end{aligned} \right.$
特点：

兼具平方损失的处处可导性，绝对值损失的异常点鲁棒性。

三、常见问题

1. 交叉熵函数与最大似然函数的联系和区别？

区别：交叉熵函数使用来描述模型预测值和真实值的差距大小，越大代表越不相近；似然函数的本质就是衡量在某个参数下，整体的估计和真实的情况一样的概率，越大代表越相近。

联系：交叉熵函数可以由最大似然函数在伯努利分布的条件下推导出来，或者说最小化交叉熵函数的本质就是对数似然函数的最大化。

2. 在用sigmoid作为激活函数的时候，为什么要用交叉熵损失函数，而不用均方误差损失函数？

分析一下两个误差函数的参数更新过程就会发现原因了。
对于均方误差损失函数，更新参数 $w$ 和 $b$ ：
$\begin{gathered} w=w-\eta \frac{\partial Loss}{\partial w}=w-\eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z) x \\ b=b-\eta \frac{\partial Loss}{\partial b}=b-\eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z) \end{gathered}$
其中 $z = w x + b$ ,因为sigmoid的性质，导致 $\sigma^{\prime}(z)$ 在 $z$ 取大部分值时会很小（如下图标出来的两端，几乎接近于平坦），这样会使得 $\eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z)$ 很小，导致参数 $w$ 和 $b$ 更新非常慢。

对于交叉熵损失函数,参数更新公式为:
$\begin{gathered} w=w-\eta \frac{\partial Loss}{\partial w}=w-\eta(f(x)-y) x \\ b=b-\eta \frac{\partial Loss}{\partial b}=b-\eta(f(x)-y) \end{gathered}$
可以看到参数更新公式中没有 $\sigma^{\prime}(z)$ 这一项，权重的更新受 $(f (x) ? y)$ 影响，受到误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新快；当误差小的时候，权重更新慢。这是一个很好的性质。
所以当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数。