1、背景描述

这是一个“简单的”回归问题，为了锻炼自己的炼丹能力，我把函数关系搞得特别复杂：

x_raw = torch.rand((1000, 10)) * 2
y_raw = torch.cat((x_raw[:, [0]] * x_raw[:, [1]],
                   -x_raw[:, [2]] * x_raw[:, [3]],
                   x_raw[:, [9]] / x_raw[:, [8]] - x_raw[:, [7]],
                   -x_raw[:, [6]].abs() ** 0.5 + x_raw[:, [5]] + 2,
                   -x_raw[:, [4]] / x_raw[:, [0]]), dim=1).sum(dim=1, keepdim=True)

你看这是一个十变量函数
$y=x_0x_1-x_2x_3+\frac{x_9}{x_8}-x_7-\sqrt{|x_6|}+x_5+2-\frac{x_4}{x_0}$
按理来说神经网络能够拟合任意函数，只要网络够深，参数够多。但偏偏我昨天训练的时候就发生了过拟合！
网络结构是四层MLP，毕竟这种回归问题应该用不到什么fancy的layer。
在这里插入图片描述
这边train_acc和vali_acc都是 $\mathrm{Adjusted}\ R^2$ ，可以看到vali_acc甚至出现了负值，而train_acc比vali_acc高得多
过拟合咋办呢，常见的方法我都试了，权重衰减、Dropout、BatchNorm、flooding、提前终止，但没什么用，比方说稍微改大一点权重衰减的系数，就出现了欠拟合！

2、原因探析

深入想想，为啥会过拟合？为啥权重衰减可以抑制过拟合？不正是因为权重太大了，要控制权重再一定范围内吗？一个过大的权重，会使得模型对输入变得十分敏感——输入稍微改动一下，可能输出就会有很大的波动。因此才会想到要权重衰减。
进一步，那为什么神经网络会学到很大的权重？我想可能是因为回归标签本来就很大吧，一个值为1000的标签，如果网络权重都很小，输入又做了标准化（归一化），那怎么可能预测出1000这么大的数呢，所以至少在网络最后一层权重会比较大，这样Loss也会比较大，进而导致梯度大，这又带来梯度爆炸的问题了。
另一方面，数据集可能不是很好，会出现一些outliers异常值，但网络并不知道那些是异常值啊，为了使预测接近异常值，预测出的曲线（单个特征）或曲面（两个特征）自己波动就很大，那就很容易过拟合了，也会表现出对输入的敏感性。

3、问题解决

考虑到上面两点，我们要对标签值进行一些预处理。我以前是只对样本特征预处理的，但是这次也要preprocess标签。
相应地，一方面，要控制标签整体的范围，不能太大，因此做标准化处理。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

scaler = StandardScaler()
y = torch.from_numpy(scaler.fit_transform(y_raw)).type(torch.float32)

P.S. 在这里插入图片描述
另一方面，删除异常值，这里异常值的判断标准是与均值的距离超出1.96个标准差。

y_range = (y.mean() - 1.96 * y.std(), y.mean() + 1.96 * y.std())
y_normal_ind = ((y < y_range[1]) & (y > y_range[0])).flatten()
y = y[y_normal_ind]
x = x[y_normal_ind, :]

在这里插入图片描述
可以对比一下处理前后的标签值分布~
处理前，标签里有几个零星的绝对值为几百的数以及不少绝对值为十几的数，当然大部分数还是集中在2附近，处理过后之后范围大大缩小了。

4、改进效果

在这里插入图片描述
训练比之前稳定多了~

训练集、验证集、测试集上预测效果都还不错。

5、数据标签真的很丑！

后来我进一步分析，为什么数据标签会这么丑呢？这肯定跟函数关系式有关，我的关系式中有两个分式，而所有的变量服从(-2,2)的均匀分布，难保分母不会有一个很接近于0的值，进而导致该项很大很大，从而使得标签在某个点的值突然上升或突然下降。
在这里插入图片描述
上图中，(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1)分别是函数第1、2、3、4、5项，可以看到，分式项分布范围很广，甚至可以达到三四百这么大的值，神经网络学习有多么困难，可想而知。
我把除法运算都改成了乘法运算后，分布都在差不多的较小范围里了。
在这里插入图片描述