针对一般情况：
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f(x)=ax^2+bx+c
f(x)=ax2+bx+c
根据定义域来分类问题
在R域上
有无根用
Δ
>
0
或
Δ
<
0
\Delta >0 或 \Delta < 0
Δ>0或Δ<0 判断即可
半边无穷
类似与
(
x
1
,
+
∞
)
(x_1,+\infty)
(x1?,+∞) 或
(
?
∞
,
x
1
)
(-\infty,x_1)
(?∞,x1?)区间
在
(
x
1
,
+
∞
)
(x_1,+\infty)
(x1?,+∞) 上有1个根
约束条件:
{
a
f
(
x
1
)
<
0
Δ
>
0
\left\{\begin{matrix}af(x_1) <0 \\\Delta>0 \end{matrix}\right.
{af(x1?)<0Δ>0? 或
{
?
a
2
b
>
x
1
Δ
=
0
\left\{\begin{matrix}-\frac{a}{2b} >x_1 \\\Delta=0 \end{matrix}\right.
{?2ba?>x1?Δ=0?
在
(
x
1
,
+
∞
)
(x_1,+\infty)
(x1?,+∞) 上有2个根
约束条件:
{
?
a
2
b
>
x
1
Δ
>
0
a
f
(
x
1
)
>
0
\left\{\begin{matrix}-\frac{a}{2b} >x_1 \\\Delta>0 \\af(x_1)>0 \end{matrix}\right.
?????2ba?>x1?Δ>0af(x1?)>0?
在区间
(
x
1
,
x
2
)
(x_1,x_2)
(x1?,x2?)
在
(
x
1
,
x
2
)
(x_1,x_2)
(x1?,x2?)上有1个根
约束条件:
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
<
0
f(x_1)f(x_2)<0
f(x1?)f(x2?)<0
运用零点定理即可
在
(
x
1
,
x
2
)
(x_1,x_2)
(x1?,x2?)上有2个根
约束条件:
{
x
1
<
?
a
2
b
<
x
2
Δ
>
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
>
0
\left\{\begin{matrix}x_1<-\frac{a}{2b} <x_2 \\\Delta>0 \\f(x_1)f(x_2)>0 \end{matrix}\right.
????x1?<?2ba?<x2?Δ>0f(x1?)f(x2?)>0?
总结
对于二次函数根的分布问题，关键还是在于如何“钉死”二次函数的图像，一般考虑3个方向：对称轴、
Δ
\Delta
Δ、区间临界。三个约束条件一列，二次函数的图像就“钉死”了。并且，在写题的时候，3个条件，往往可多不可少，其原由涉及 “充分条件”与“必要条件”之间的关系。一言以蔽之，无数必要条件的交集构成充分条件。
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