[人工智能]集成学习专项（一）数学基础

机器学习补充数学基础

1. 呼叫泊松流

• 呼叫流
  设 { N ( t ) } \{N(t) \} {N(t)}是强度为$\lambda $的泊松过程，定义$S_0=0$，用$S_n$表示第n个事件发生的时刻，简称为第n个到达时刻或者第n个呼叫时，由于$S_0,S_1,…,S_n$依次到达，所以又称${S_t }$为泊松过程${N(t) }$的呼叫流。

• 基本关系：
  { N ( t ) ≥ n } = { S n ≤ t } { N ( t ) = n } = { S n ≤ t < S n + 1 } \{N(t)\ge n \} = \{S_n\le t \}\\ \{N(t)= n \} = \{S_n\le t<S_{n+1} \} {N(t)≥n}={Sn?≤t}{N(t)=n}={Sn?≤t<Sn+1?}

• 等待间隔：设 { S n } \{S_n \} {Sn?}是泊松过程 { N ( t ) } \{N(t) \} {N(t)}的呼叫流，引入$X_n=S_n?S_{n?1},n=1,2,...$，则$X_n$是第n-1个事件之后等待第n个事件发生的等待间隔，称为第n个等待间隔。

• 泊松过程 { N ( t ) } \{N(t) \} {N(t)}的等待间隔$X_1,...,X_n,...$是来自指数总体$?(\lambda )$的随机变量。
  证明：首先考虑 $X_1$ 的分布，注意到事件 { X 1 > t } \left\{X_{1}>t\right\} {X1?>t} 等价于事件 { N ( t ) = 0 } , \{N(t)=0\}, {N(t)=0}, 即$(0,t]$ 时间内没有事件发生。因此
  P { X 1 > t } = P { N ( t ) = 0 } = e ? λ t P\left\{X_{1}>t\right\}=P\{N(t)=0\}=\mathrm{e}^{-\lambda t} P{X1?>t}=P{N(t)=0}=e?λt
  从而
  P { X 1 ? t } = 1 ? e ? λ t P\left\{X_{1} \leqslant t\right\}=1-\mathrm{e}^{-\lambda t} P{X1??t}=1?e?λt
  再来看 $X_2:$
  P { X 2 > t ∣ X 1 = s } = P { N ( s + t ) ? N ( s ) = 0 ∣ X 1 = s } = P N ( s + t ) ? N ( s ) = 0 ( 独 立 增 量 性 ) = e ? λ t P\left\{X_{2}>t \mid X_{1}=s\right\}=P\left\{N(s+t)-N(s)=0 \mid X_{1}=s\right\} =P{N(s+t)-N(s)=0}(独立增量性)=\mathrm{e}^{-\lambda t} P{X2?>t∣X1?=s}=P{N(s+t)?N(s)=0∣X1?=s}=PN(s+t)?N(s)=0(独立增量性)=e?λt
  所以 $X_2$ 与 $X_1$ 独立，且都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。重复同样的推导，可得定理结论。

2. 牛顿法和梯度下降法的比较

• 牛顿法：是通过求解目标函数的一阶导数为0时的参数，进而求出目标函数最小值时的参数。
  收敛速度很快。
  海森矩阵的逆在迭代过程中不断减小，可以起到逐步减小步长的效果。
  缺点：海森矩阵的逆计算复杂，代价比较大，因此有了拟牛顿法。

• 梯度下降法：是通过梯度方向和步长，直接求解目标函数的最小值时的参数。
  越接近最优值时，步长应该不断减小，否则会在最优值附近来回震荡。

作业

问题： 在数学最优化中，Rosenbrock函数是一个用来测试最优化算法性能的非凸函数，由Howard Harry Rosenbrock在1960年提出 。也称为Rosenbrock山谷或Rosenbrock香蕉函数。已知Rosenbrock函数的表达式为

$$f(x)=(a?x_1{)}^2+b(x_2?x_1{)}^2$$

请编程完成以下工作：
（1）为$a$和$b$取不同的值，绘制3D表面。观察$a$和$b$的不同取值对曲面形状的影响
（2）编写算法找到全局最小值以及相应的最小解，并在3D图像中标出。分析算法的时空效率，给出运行时间