[人工智能]fhog学习笔记

fhog详解

fhog是在hog基础上进行的优化。

假设F是一个大小为 $w?h$ 图像的像素级特征映射，$k>0$是定义的 $cell$ 的大小。通过像素级特征映射的空间聚合来得到基于 $cell$ 的特征映射 $C$，记为：$C(i,j)$。其中 { 0 ≤ i ≤ [ ( w ? 1 ) / k ] } \{0\leq i\leq[(w-1)/k]\} {0≤i≤[(w?1)/k]}， { 0 ≤ j ≤ [ ( h ? 1 ) / k ] } \{0\leq j\leq[(h-1)/k]\} {0≤j≤[(h?1)/k]}

这种聚合可以使特征具有对微小形变的不变性，并可以减少特征映射尺寸。

最简单的聚合特征的方法是将像素$(x,y)$映射到一个 $cell$ 中（$[x/k],[y/k]$），比如$k=4,x=20,y=60,\frac{x}{k}=5,\frac{y}{k}=12$，则像素 $(x,y)$ 映射到 $cell(5,12)$ 当中。

像素梯度幅值的统计办法

以下图为例，图像左图是一个$3\times 3$ 个cell，假设每个cell是由 $4\times 4$ 个像素组成。假设每个像素梯度幅值为 $r(i,j)$。但是论文中这个像素的梯度幅值，并不是直接等于这个像素位置计算出来的幅值，而是在相邻的四个cell对应位置按照影响按权重计算得来。此处的理解可以参考：opencv 学习笔记-入门（21）之三线性插值-hog(二)。比如下图，统计中间深棕色cell的网格状阴影像素梯度时，要就算它周围相邻cell对应位置上梯度，并做加权处理，才是此处的梯度。同理，斜纹阴影的四个像素的梯度幅值也是如此计算。

假如当前cell要计算的像素特征梯度为 $r(i+0,j+1)$ ，加号前面的值是该像素所在cell的坐标，简记为 $r_{i,j}$，周围相邻的四个cell对应位置像素梯度值记为 $r_{i?1,j?1}$，$r_{i?1,j}$，$r_{i,j?1}$。加权后，最后的像素梯度特征为：$w_1?r_{i?1,j?1}+w_2?r_{i?1,j}?w_2?r_{i,j?1}?w_2?r_{i,j}$。
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填充cell特征向量

根据梯度幅角，填充cell特征向量。假设将$[0?\pi ]$ 区间分成9份，区间间隔 20°。每个cell有9维方向不敏感的维度值，再将 $[0?2\pi ]$ 分成18份，区间间隔还是20°，分下来，每个cell又有18维方向敏感的维度值。这两者加起来，共有27个维度。设 cell 标记为 $C(i,j)$ ，是一个9+27维特征向量，如上图。

1.3 Normalization and Truncation

梯度对偏置改变具有不变性，这种不变性是通过归一化获得的。

作者使用了四种不同的归一化因子，记为：

$N_{\delta ,r}(i,j)$ 其中 $\delta ,r?\left\{\begin{array}{c}?1,1\end{array}\right\}$，定义如下：
$$N_{\delta ,r}(i,j)=(||C(i,j)|{|}^2+||C(i+\delta ,j)|{|}^2+||C(i,j+\gamma )|{|}^2+||C(i+\delta ,j+\gamma )|{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$
每个因子都包含一个block的四个cell的能量： $[N_{?1,?1}(i,j),N_{+1,?1}(i,j),N_{+1,+1}(i,j),N_{?1,+1}(i,j)]$

四个列向量，分别对应上图的(1)~(4)中彩色cell部分。

$$?\begin{array}{c}{N}_{?1,?1}(i,j)=(||C(i,j)|{|}^2+||C(i?1,j)|{|}^2+||C(i?1,j?1)|{|}^2+||C(i,j?1)|{|}^2{)}^{1/2}\\ N_{+1,?1}(i,j)=(||C(i,j)|{|}^2+||C(i+1,j)|{|}^2+||C(i+1,j?1)|{|}^2+||C(i,j?1)|{|}^2{)}^{1/2}\\ N_{+1,+1}(i,j)=(||C(i,j)|{|}^2+||C(i+1,j)|{|}^2+||C(i+1,j+1)|{|}^2+||C(i,j+1)|{|}^2{)}^{1/2}\\ N_{?1,+1}(i,j)=(||C(i,j)|{|}^2+||C(i?1,j)|{|}^2+||C(i?1,j+1)|{|}^2+||C(i,j+1)|{|}^2{)}^{1/2}\end{array}?$$
$T_{\alpha }(\upsilon )$ 表示向量 $\upsilon$ 被 $\alpha$ 截断之后形成的向量（把 $v$ 中大于 $\alpha$ 的值都设为 $\alpha $）。将 Cell 级别的特征归一化并截断后，串联起来就得到HOG特征。
$$H(i,j)=?\begin{array}{c}{T}_{\alpha }(C(i,j)/N_{?1,?1}(i,j))\\ T_{\alpha }(C(i,j)/N_{+1,?1}(i,j))\\ T_{\alpha }(C(i,j)/N_{+1,+1}(i,j))\\ T_{\alpha }(C(i,j)/N_{?1,+1}(i,j))\end{array}?$$
通常取$p=9,k=8,\alpha =0.2$，最终得到一个36维的特征向量（这个 $H$ 是一个 $4\times 9$ 维的向量）。

什么叫被 $\alpha$ 截断的向量？比如一个向量是$C=[1,2,0.5,0.1]$，那么 $T_{\alpha }(C)=[0.2,0.2,0.2,0.1]$

$H(i,j)$ 的形式如下（左图）所示，右图为将各列串联起来，形成一条长向量（36维）。

图像可以转化成如下图所示，正面窗格表示一个cell。整幅图像根据cell大小，分为 $m\times n$ 个cell，图像维度为：$m\times n\times 36$：

一幅图像，可以看成是$m\times n$ 个36维向量，整体向量维度还是很大，所以要通过PCA进行降维处理。

PCA的解释可以参考：【机器学习】降维——PCA（非常详细）

将36维数据组成的矩阵中，找到若干个（小于36维）向量可以表示这36维数据，而整体的损失还比较小。

这里，原论文的作者通过大量的图片试验，发现大概取前11（也有说12）特征向量，就可以表示所有的36维数据。

这个图就是将原有的36维数据，按PCA方法处理后，生成36个特征向量，按特征值从大到小排列的特征向量如下：

前面几个特征值大的特征向量，其形状有固定规律，都是由横条或者竖条组成。横条或竖条上的点，数值基本相近，因此作者提出用性质相近的点求和后，作为特征向量的一维，因此生成了横向和4个，纵向和9个，共13个数，这13个数排成一列，组成了新的向量。作者认为，这样生成的13维向量，可以代表特征值最大的前几个特征向量，进而可以表示整个数据。所以数据由36维降到了13维，如下图所示

假设这个36维向量为$X=[x_1,?,x_{3}6{]}^T$，转成13维向量方式如下：
$${?\begin{array}{cccccccccccc}1& ?& 1& 0& ?& 0& 0& ?& 0& 0& ?& 0\\ 0& ?& 0& 1& ?& 1& 0& ?& 0& 0& ?& 0\\ 0& ?& 0& 0& ?& 0& 1& ?& 1& 0& ?& 0\\ 0& ?& 0& 0& ?& 0& 0& ?& 0& 1& ?& 1\\ 1& ?& 0& 1& ?& 0& 1& ?& 0& 1& ?& 0\\ & & & & ?& & & & & & & \\ 0& ?& 1& 0& ?& 1& 0& ?& 1& 0& ?& 1\end{array}?}_{13\times 36}{?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ ?\\ x_{36}\end{array}?}_{36\times 1}={?\begin{array}{c}{y}_1\\ ?\\ y_{13}\end{array}?}_{13\times 1}$$
总的过程可以参考这张图：

fhog特征融合入相关滤波之中

这段是参考 FHOG

无论是训练还是检测都用到核相关矩阵，所以hog特征的融合主要是在这个过程中进行的。
④ 然后在用和相关矩阵的计算公式进行计算 ：我们把特征记为X[36]，Y[36]，是一个36维的容器，每个维度都是mn的矩阵。
① 首先分别对每个维度进行傅里叶变换，得到xf[36]和yf[36].
② xx的计算：计算xf在每一维的二范数除以（mn）。然后累加起来，就是xx。yy也是一样，这一步得到的都是一个实数。
③ xy的计算：计算xf[i]和yf[i]的共轭在频域的点积（element-wise），这样得到的是36个mn的复数矩阵，分别对每个矩阵都进行傅里叶逆变换得到xy[36],是36个mn的实数矩阵，分别也要除以（mn），然后把36个矩阵对应点求和得到一个矩阵记作xy，是一个mn的实数矩阵。
上面两个除以的m*n都是在处理公式中的numel(x).即总的像素点数。

④ 然后在用和相关矩阵的计算公式进行计算 ：
$$k=exp(?\frac{1}{{\delta }^2}max(0,(xx+yy?2xy)/维数))$$
这段的C++代码如下：

cv::Mat KCF::GaussianCorrelation(std::vector<cv::Mat> xf, std::vector<cv::Mat> yf) {
  int N = xf[0].size().area();      //这就是一个面积，也就是总的像素数
  double xx = 0, yy = 0;        
  std::vector<cv::Mat> xyf_vector(xf.size());
  cv::Mat xy(xf[0].size(), CV_32FC1, Scalar(0.0)), xyf, xy_temp;
  for (unsigned int i = 0; i < xf.size(); ++i)      //特征维数
  {
    xx += cv::norm(xf[i]) * cv::norm(xf[i]) / N;    //这里算的是二范数，是一个double。并除以N
    yy += cv::norm(yf[i]) * cv::norm(yf[i]) / N;
    cv::mulSpectrums(xf[i], yf[i], xyf, 0, true);   //傅里叶域点乘
    cv::idft(xyf, xy_temp, cv::DFT_SCALE | cv::DFT_REAL_OUTPUT);   // Applying IDFT，这里也除以N了，DFT_SCALE就是标志
    xy += xy_temp;
  }   //把所有层的特征都加起来，实际上是在复数域加起来

  float numel_xf = N * xf.size();
  cv::Mat k, kf;
  exp((-1 / (kernel_sigma_ * kernel_sigma_)) * max(0.0, (xx + yy - 2 * xy) / numel_xf), k);
 //计算核相关矩阵
  k.convertTo(k, CV_32FC1);
  cv::dft(k, kf, DFT_COMPLEX_OUTPUT);    //转换到频域
  return kf;    
}