数列极限的定义
存在常数a，对任意的
?
>
0
\epsilon > 0
?>0，
若存在正整数N，使得
n
>
N
n>N
n>N时，
∣
x
n
?
a
∣
<
?
|x_n-a|< \epsilon
∣xn??a∣<?恒成立，称a是数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{xn?}的极限。记为
lim
?
x
→
∞
x
n
=
a
\lim_{x \rightarrow \infty} x_n = a
limx→∞?xn?=a。
若寻找存在的正整数N，则需要进行取整操作。N并不唯一，大于N的都行
若不存在，则称数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{xn?}发散。
子数列
若数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{an?}收敛，其任意子列
{
a
n
k
}
\{a_{n_k}\}
{ank??}收敛，且
lim
?
k
→
∞
a
n
k
=
lim
?
n
→
∞
a
n
\lim_{k \rightarrow \infty}a_{n_k} = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n
limk→∞?ank??=limn→∞?an?。
不仅可以从数列收敛推出其子序列收敛。
而且利用反证法，从其子列发散，证明原数列发散。
但是仅有一个子列收敛，无法推出整个数列收敛。
数列的性质
主要性质：
- 唯一性：给出数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{xn?}，若
lim
?
n
→
∞
x
n
=
a
\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a
limn→∞?xn?=a（存在），则
a
a
a是唯一的。
- 有界性：若数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{xn?}极限存在，则数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{xn?}有界。
- 保号性：设数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{an?}存在极限
a
a
a，且
a
>
0
a > 0
a>0（或
a
<
0
a < 0
a<0），则存在正整数
N
N
N，当
n
>
N
n>N
n>N时，有
a
n
>
0
a_n>0
an?>0（或
a
n
<
0
a_n < 0
an?<0）
此处需要注意的是，这里并非是局部性质，而是整个数列满足该性质。
数列极限的运算
设存在
lim
?
n
→
∞
x
n
=
a
\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a
limn→∞?xn?=a，
lim
?
n
→
∞
y
n
=
b
\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = b
limn→∞?yn?=b。
那么有
-
lim
?
n
→
∞
(
x
n
±
y
n
)
=
a
±
b
\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n \pm y_n) = a \pm b
limn→∞?(xn?±yn?)=a±b；
-
lim
?
n
→
∞
x
n
y
n
=
a
b
\lim_{n \rightarrow \infty} x_ny_n = ab
limn→∞?xn?yn?=ab；
- 当
b
≠
0
b \neq 0
b?=0，
y
n
≠
0
y_n \neq 0
yn??=0，那么
lim
?
n
→
∞
x
n
y
n
=
a
b
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}
limn→∞?yn?xn??=ba?。
夹逼准则
夹逼准则的方法与极限中夹逼准则的定义类似，不再赘述。
单调有界
判断极限是否存在:
- 数列单调上升，且有上界，则数列极限存在；
- 数列单调下降，且有下界，则数列极限存在。’
若数列并不单调，那么分析出其极限值，
常见题型：
- 给出
a
n
a_n
an?的递推通项：利用单调有界准则。
- 给出
a
n
=
f
(
n
)
a_n = f(n)
an?=f(n)的公式：化为
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x)，进行求导计算。
Task02中所讲的函数连续性部分补充在了上一章Task01中。
以上内容是DataWhale第28期组队学习，根据b站视频考研数学之高等数学（一二三都适用）学习整理所得，若有不足，望指出。
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