1 矩阵和向量
如图：这个是4×2矩阵，即4行2列，如
m
m
m为行，
n
n
n为列，那么
m
×
n
m×n
m×n即4×2
矩阵的维数即行数×列数
矩阵元素（矩阵项）： A = [ 1402 191 1371 821 949 1437 147 1448 ] A=\left[ \begin{matrix} 1402 & 191 \\ 1371 & 821 \\ 949 & 1437 \\ 147 & 1448 \\\end{matrix} \right] A=?????14021371949147?19182114371448??????
A i j A_{ij} Aij?指第 i i i行，第 j j j列的元素。
向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，如：
y
=
[
460
232
315
178
]
y=\left[ \begin{matrix} {460} \\ {232} \\ {315} \\ {178} \\\end{matrix} \right]
y=?????460232315178??????
为四维列向量（4×1）。
如下图为1索引向量和0索引向量，左图为1索引向量，右图为0索引向量，一般我们用1索引向量。
y = [ y 1 y 2 y 3 y 4 ] y=\left[ \begin{matrix} {{y}_{1}} \\ {{y}_{2}} \\ {{y}_{3}} \\ {{y}_{4}} \\\end{matrix} \right] y=?????y1?y2?y3?y4???????， y = [ y 0 y 1 y 2 y 3 ] y=\left[ \begin{matrix} {{y}_{0}} \\ {{y}_{1}} \\ {{y}_{2}} \\ {{y}_{3}} \\\end{matrix} \right] y=?????y0?y1?y2?y3???????
2 加法和标量乘法
矩阵的加法：行列数相等的可以加。
例：
矩阵的乘法：每个元素都要乘
组合算法也类似。
3 矩阵向量乘法
矩阵和向量的乘法如图： m × n m×n m×n的矩阵乘以 n × 1 n×1 n×1的向量，得到的是 m × 1 m×1 m×1的向量
算法举例：
4 矩阵乘法
参考视频: 3 - 4 - Matrix Matrix Multiplication (11 min).mkv
矩阵乘法：
m × n m×n m×n矩阵乘以 n × o n×o n×o矩阵，变成 m × o m×o m×o矩阵。
如果这样说不好理解的话就举一个例子来说明一下，比如说现在有两个矩阵
A
A
A和
B
B
B，那么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。
5 矩阵乘法的性质
参考视频: 3 - 5 - Matrix Multiplication Properties (9 min).mkv
矩阵乘法的性质：
矩阵的乘法不满足交换律： A × B ≠ B × A A×B≠B×A A×B?=B×A
矩阵的乘法满足结合律。即： A × ( B × C ) = ( A × B ) × C A×(B×C)=(A×B)×C A×(B×C)=(A×B)×C
单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I I I 或者 E E E 表示，本讲义都用 I I I 代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。如：
A A ? 1 = A ? 1 A = I A{{A}^{-1}}={{A}^{-1}}A=I AA?1=A?1A=I
对于单位矩阵，有 A I = I A = A AI=IA=A AI=IA=A
6 逆、转置
矩阵的逆：如矩阵 A A A是一个 m × m m×m m×m矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则： A A ? 1 = A ? 1 A = I A{{A}^{-1}}={{A}^{-1}}A=I AA?1=A?1A=I
我们一般在OCTAVE或者MATLAB中进行计算矩阵的逆矩阵。
矩阵的转置：设 A A A为 m × n m×n m×n阶矩阵（即 m m m行 n n n列），第 i 行 i 行 i行j 列 的 元 素 是 列的元素是 列的元素是a(i,j) ， 即 ： ，即： ，即：A=a(i,j)
定义 A A A的转置为这样一个 n × m n×m n×m阶矩阵 B B B，满足 B = a ( j , i ) B=a(j,i) B=a(j,i)，即 b ( i , j ) = a ( j , i ) b (i,j)=a(j,i) b(i,j)=a(j,i)（ B B B的第 i i i行第 j j j列元素是 A A A的第 j j j行第 i i i列元素），记 A T = B {{A}^{T}}=B AT=B。(有些书记为A’=B）
直观来看，将 A A A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到 A A A的转置。
例：
∣ a b c d e f ∣ T = ∣ a c e b d f ∣ {{\left| \begin{matrix} a& b \\ c& d \\ e& f \\\end{matrix} \right|}^{T}}=\left|\begin{matrix} a& c & e \\ b& d & f \\\end{matrix} \right| ∣∣∣∣∣∣?ace?bdf?∣∣∣∣∣∣?T=∣∣∣∣?ab?cd?ef?∣∣∣∣?
矩阵的转置基本性质:
