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[人工智能]模糊C均值聚类算法

??学习了一下模糊聚类中的模糊 C 均值聚类算法 (Fuzzy C-Means Clustering)。

??Fuzzy 意为模糊,其中包括几种模糊的方式,这里使用的是最简单的方式,它是基于概率的概念。我们把每一个点属于每一类的概率值求出,它属于哪一类别的概率最大,我们就将其归于哪一类。

??这里的 C 其实对应于 K-means 中的 K。其中,K-means 中的 K 决定类别数。同样的,C 也是决定类别数。

??首先我们介绍该算法的目标函数。

??当分类时,我们希望类内距离要越小越好(越集中越好),类与类之间的距离要越大越好。而 Fuzzy C-Means 只用到第一个概念 (类内距离要越小越好)。如果我们同时考虑类与类之间的距离,那么分类效果自然会得到提升。所以还有很多种不同的方式。

??下图中,假设红星是 c 1 c_1 c1? 的中心,黄星是 c 2 c_2 c2? 的中心。
??????在这里插入图片描述
??我们给每一个点赋予到每一个类别中心的几率值,如下图中, x j x_j xj? c 1 c_1 c1? 中心点的几率值为 u 1 j u_{1j} u1j?,其中 1 表示类别数,j 表示哪一个点。我们将 u 1 j u_{1j} u1j? 称为隶属值 (membership values),代表点 j 隶属于第一类概率是多少。
??????在这里插入图片描述
??那么,也就有点 j j j 隶属于第2类的概率 u 2 j u_{2j} u2j?
??????在这里插入图片描述
??依次类推,如果有 3 类,点 j j j 就有 3 个隶属值;有 n n n 类,就有 n n n 个隶属值。并且需要满足 u 1 j + u 2 j + ? + u n j = 1 u_{1j} + u_{2j} + \dots + u_{nj} = 1 u1j?+u2j?+?+unj?=1,例子中为 u 1 j + u 2 j = 1 u_{1j} + u_{2j} = 1 u1j?+u2j?=1.

??接下来,我们希望点 j j j c 1 c_1 c1? 的距离越小越好,到 c 2 c_2 c2? 的距离越大越好。所以与 K-means 类似,我们需要先算距离。
????在这里插入图片描述

??那么,我们给两段距离分别称上相应的几率值。
在这里插入图片描述

??从图中可以看到,几率值上面多了一个 m m m ,这个 m m m 就是 Fuzzifier m m m,用来控制每一段距离重要性的大小,如图上所示, u 1 j u_{1j} u1j? 应该比较大,比如 0.8, u 2 j u_{2j} u2j? 比较小,如 0.2。

??如果 u 2 j m ∥ x j ? c 2 ∥ ≈ 0 u_{2j}^m \| x_j - c_2\| ≈ 0 u2jm?xj??c2?0,那么就会忽略 x j x_j xj? c 2 c_2 c2? 的距离,只会算 u 1 j m ∥ x j ? c 1 ∥ u_{1j}^m \| x_j - c_1\| u1jm?xj??c1?
在这里插入图片描述
??那么扩展到每一个点,就会得到如下式子:
∑ j = 1 N u 1 j m ∥ x j ? c 1 ∥ 2 = u 1 , 1 m ∥ x 1 ? c 1 ∥ 2 + u 1 , 2 m ∥ x 2 ? c 1 ∥ 2 + ? + u 1 , N m ∥ x N ? c 1 ∥ 2 \sum_{j=1}^N u_{1j}^m\| x_j - c_1\|^2 = u_{1,1}^m\| x_1 - c_1\|^2 + u_{1,2}^m\| x_2 - c_1\|^2 + \dots + u_{1,N}^m\| x_N - c_1\|^2 j=1N?u1jm?xj??c1?2=u1,1m?x1??c1?2+u1,2m?x2??c1?2+?+u1,Nm?xN??c1?2
????????在这里插入图片描述
??当我们将 membership values 考虑在内时,到 c 2 c_2 c2? 的 membership values 会很小,最后乘上距离会场趋近于 0,所以,最后问题近似简化成了只考虑红色区块而已,我们希望距离和越小越好。
??????在这里插入图片描述

??以此类推,得到:

∑ j = 1 N u 2 j m ∥ x j ? c 2 ∥ 2 = u 2 , 1 m ∥ x 1 ? c 2 ∥ 2 + u 2 , 2 m ∥ x 2 ? c 2 ∥ 2 + ? + u 2 , N m ∥ x N ? c 2 ∥ 2 \sum_{j=1}^N u_{2j}^m\| x_j - c_2\|^2 = u_{2,1}^m\| x_1 - c_2\|^2 + u_{2,2}^m\| x_2 - c_2\|^2 + \dots + u_{2,N}^m\| x_N - c_2\|^2 j=1N?u2jm?xj??c2?2=u2,1m?x1??c2?2+u2,2m?x2??c2?2+?+u2,Nm?xN??c2?2

??同样也希望距离和越小越好,那么该栗子的损失函数就是希望 ∑ j = 1 N u 1 j m ∥ x j ? c 1 ∥ 2 \sum_{j=1}^N u_{1j}^m\| x_j - c_1\|^2 j=1N?u1jm?xj??c1?2 ∑ j = 1 N u 2 j m ∥ x j ? c 2 ∥ 2 \sum_{j=1}^N u_{2j}^m\| x_j - c_2\|^2 j=1N?u2jm?xj??c2?2 越小越好,合为一个式子得到:
J = ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 N u i j m ∥ x j ? c i ∥ 2 = ∑ j = 1 N u 1 j m ∥ x j ? c 1 ∥ 2 + ∑ j = 1 N u 2 j m ∥ x j ? c 2 ∥ 2 J = \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^N u_{ij}^m \| x_j - c_i\|^2 = \sum_{j=1}^N u_{1j}^m \| x_j - c_1\|^2 + \sum_{j=1}^N u_{2j}^m\| x_j - c_2\|^2 J=i=12?j=1N?uijm?xj??ci?2=j=1N?u1jm?xj??c1?2+j=1N?u2jm?xj??c2?2

??其中, c c c u u u 是未知的。并且满足如下式子:
∑ i = 1 2 u i 1 = u 1 , 1 + u 2 , 1 = 1 … ∑ i = 1 2 u i N = u 1 , N + u 2 , N = 1 \sum_{i=1}^2 u_{i1} = u_{1,1} + u_{2,1} = 1 \\ \dots \\ \sum_{i=1}^2 u_{iN} = u_{1,N} + u_{2,N} = 1 i=12?ui1?=u1,1?+u2,1?=1i=12?uiN?=u1,N?+u2,N?=1

??将损失函数推广到一般情况为:
J ( u i j , c i ) = ∑ i = 1 K ∑ j = 1 N u i j m ∥ x j ? c i ∥ 2 J(u_{ij}, c_i) = \sum_{i=1}^K \sum{j=1}^N u_{ij}^m \| x_j - c_i\|^2 J(uij?,ci?)=i=1K?j=1Nuijm?xj??ci?2
??其中, ∑ i = 1 K u i j = 1 , j = 1 , 2 , … , N \sum_{i=1}^K u_{ij} = 1, j = 1,2, \dots, N i=1K?uij?=1,j=1,2,,N

??举个例子,假设我们有如下4个点,需要将其分为两类。
????在这里插入图片描述
??我们根据距离可能会将 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1?,x2? 分为一类, x 3 , x 4 x_3, x_4 x3?,x4? 分为一类。

??假设我们知道了第一类的中心为 c 1 c_1 c1?,第二类中心为 c 2 c_2 c2?。那么我们计算损失为:
??在这里插入图片描述

??代入距离为:
??在这里插入图片描述
??如上图如式,当我们已知中心点,那么最后损失函数只与 u u u 相关,我们希望 J J J 越小越好。

??反过来,当我们知道了 U U U 值,那么最后 J J J 只与 c c c 相关。
????在这里插入图片描述

??我们的损失函数中的未知量为 c c c U U U,那么怎么求解以下这种有限制条件的最小值问题,通常的解决方法是使用拉格朗日进行求解。
在这里插入图片描述

??我们的每一个限制条件都需要一个拉格朗日因子。如下图所示,对于点 x 1 x_1 x1?,有隶属值 u 11 u_{11} u11? u 21 u_{21} u21?,满足条件 u 11 + u 21 = 1 u_{11} + u_{21} = 1 u11?+u21?=1,这里的限制条件用一个拉格朗日因子 λ 1 \lambda_1 λ1? 表示;同样的对于点 点 x 2 x_2 x2?,有隶属值 u 12 u_{12} u12? u 22 u_{22} u22?,满足条件 u 12 + u 22 = 1 u_{12} + u_{22} = 1 u12?+u22?=1,这里的限制条件用一个拉格朗日因子 λ 2 \lambda_2 λ2? 表示,依此类推,例子中共有10个点,就有10个限制条件,相应的有10个拉格朗日因子。
在这里插入图片描述
??那么,我们的损失函数变为:
L ( u i j , c i , λ j ) = ∑ i = 1 K ∑ j = 1 N u i j m ∥ x j ? c i ∥ 2 ? λ 1 ( ∑ i = 1 K u i 1 ? 1 ) ? λ 2 ( ∑ i = 1 K u i 2 ? 1 ) ? ? ? λ N ( ∑ i = 1 K u i N ? 1 ) = ∑ i = 1 K ∑ j = 1 N u i j m ∥ x j ? c i ∥ 2 ? ∑ j = 1 N λ j ( ∑ i = 1 K u i j ? 1 ) \mathcal{L}(u_{ij}, c_i, \lambda_j) = \sum_{i=1}^K \sum_{j=1}^N u_{ij}^m \| x_j - c_i\|^2 - \lambda_1 \left(\sum_{i=1}^K u_{i1} - 1\right) - \lambda_2 \left(\sum_{i=1}^K u_{i2} - 1 \right) - \dots - \lambda_N \left(\sum_{i=1}^K u_{iN} - 1 \right)\\ = \sum_{i=1}^K \sum_{j=1}^N u_{ij}^m \| x_j - c_i\|^2 - \sum_{j=1}^N \lambda_j \left(\sum_{i=1}^K u_{ij} - 1 \right) L(uij?,ci?,λj?)=i=1K?j=1N?uijm?xj??ci?2?λ1?(i=1K?ui1??1)?λ2?(i=1K?ui2??1)???λN?(i=1K?uiN??1)=i=1K?j=1N?uijm?xj??ci?2?j=1N?λj?(i=1K?uij??1)

??其中 ∑ i = 1 K u i 1 ? 1 \sum_{i=1}^K u_{i1} - 1 i=1K?ui1??1 是限制条件 ∑ i = 1 K u i 1 = 1 \sum_{i=1}^K u_{i1} =1 i=1K?ui1?=1 移项所得。

??我们将 L \mathcal{L} L 第一部分展开,可得:
在这里插入图片描述
??现在我们要求 L \mathcal{L} L u i j u_{ij} uij? 的微分,根据上图展开式发现只有一项包含 u i j u_{ij} uij?,其余微分时均可看作常量。对于第二项,可以使用相同的方法展开,可得:
????在这里插入图片描述

??那么
? L ? u i j = m u i j m ? 1 ∥ x j ? c i ∥ 2 ? λ j = 0 = > u i j m ? 1 = λ j m ∥ x j ? c i ∥ 2 = ( λ j m ) 1 ∥ x j ? c i ∥ 2 = > u i j = ( λ j m ) 1 m ? 1 1 ∥ x j ? c i ∥ 2 m ? 1 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{ij}} = mu_{ij}^{m-1} \| x_j - c_i\|^2 - \lambda_j = 0 \\ => u_{ij}^{m-1} = \frac{\lambda_j}{m\|x_j - c_i \|^2} \\ = \left(\frac{\lambda_j}{m}\right) \frac{1}{\| x_j - c_i\|^2} \\ => u_{ij} = \left(\frac{\lambda_j}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}} \frac{1}{\| x_j - c_i\|^{\frac{2}{m-1}}} ?uij??L?=muijm?1?xj??ci?2?λj?=0=>uijm?1?=mxj??ci?2λj??=(mλj??)xj??ci?21?=>uij?=(mλj??)m?11?xj??ci?m?12?1?

??但是,式子中仍有 λ j \lambda_j λj? 是未知的,但是我们还有一个限制条件 ∑ i = 1 K u i j = 1 \sum_{i=1}^K u_{ij} = 1 i=1K?uij?=1.

??将其代入可以得:
∑ i = 1 K u i j = ∑ i = 1 K ( λ j m ) 1 m ? 1 1 ∥ x j ? c i ∥ 2 m ? 1 = ( λ j m ) 1 m ? 1 ∑ i = 1 K 1 ∥ x j ? c i ∥ 2 m ? 1 = 1 = > ( λ j m ) 1 m ? 1 = 1 ∑ l = 1 K 1 ∥ x j ? c l ∥ 2 m ? 1 \sum_{i=1}^K u_{ij} = \sum_{i=1}^K \left(\frac{\lambda_j}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}} \frac{1}{\| x_j - c_i\|^{\frac{2}{m-1}}} \\ = \left(\frac{\lambda_j}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}} \sum_{i=1}^K \frac{1}{\| x_j - c_i\|^{\frac{2}{m-1}}} = 1 \\ => \left(\frac{\lambda_j}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}} = \frac{1}{\sum_{l=1}^K \frac{1}{\| x_j - c_l\|^{\frac{2}{m-1}}}} i=1K?uij?=i=1K?(mλj??)m?11?xj??ci?m?12?1?=(mλj??)m?11?i=1K?xj??ci?m?12?1?=1=>(mλj??)m?11?=l=1K?xj??cl?m?12?1?1?

??将得到的 $ (\frac{\lambda_j}{m})^{\frac{1}{m-1}} $ 代入 u i j u_{ij} uij? 可得:
u i j = 1 ∑ l = 1 K 1 ∥ x j ? c l ∥ 2 m ? 1 ? 1 ∥ x j ? c i ∥ 2 m ? 1 = 1 ∥ x j ? c i ∥ 2 m ? 1 ∑ l = 1 K 1 ∥ x j ? c l ∥ 2 m ? 1 u_{ij} = \frac{1}{\sum_{l=1}^K \frac{1}{\| x_j - c_l\|^{\frac{2}{m-1}}}} \cdot \frac{1}{\| x_j - c_i\|^{\frac{2}{m-1}}} \\ = \frac{\frac{1}{\| x_j - c_i\|^{\frac{2}{m-1}}}}{\sum_{l=1}^K \frac{1}{\| x_j - c_l\|^{\frac{2}{m-1}}}} uij?=l=1K?xj??cl?m?12?1?1??xj??ci?m?12?1?=l=1K?xj??cl?m?12?1?xj??ci?m?12?1??

??现在还是以最开始的栗子为例,现有一点 x j x_j xj? c 1 c_1 c1? 的距离为 ∥ x j ? c 1 ∥ 2 \| x_j - c_1\|^2 xj??c1?2,到 c 2 c_2 c2? 的距离为 ∥ x j ? c 2 ∥ 2 \| x_j - c_2\|^2 xj??c2?2 x j x_j xj? 应该属于距离近的一类。
??????在这里插入图片描述
??那么怎么表示距离近呢?我们把距离取倒数,距离越近,倒数就越大。
????????在这里插入图片描述
??要满足 u 1 j + u 2 j = 1 u_{1j} + u_{2j} = 1 u1j?+u2j?=1,类似于数据归一化。我们可以得到:
u 1 j = 1 ∥ x j ? c 1 ∥ 2 1 ∥ x j ? c 1 ∥ 2 + 1 ∥ x j ? c 2 ∥ 2 u 2 j = 1 ∥ x j ? c 2 ∥ 2 1 ∥ x j ? c 1 ∥ 2 + 1 ∥ x j ? c 2 ∥ 2 u_{1j} = \frac{\frac{1}{\| x_j - c_1\|^2}}{\frac{1}{\| x_j - c_1\|^2} + \frac{1}{\| x_j - c_2\|^2}} \\ u_{2j} = \frac{\frac{1}{\| x_j - c_2\|^2}}{\frac{1}{\| x_j - c_1\|^2} + \frac{1}{\| x_j - c_2\|^2}} u1j?=xj??c1?21?+xj??c2?21?xj??c1?21??u2j?=xj??c1?21?+xj??c2?21?xj??c2?21??

??以上就是 L \mathcal{L} L u i j u_{ij} uij? 微分的推导过程。那么 L \mathcal{L} L c i c_i ci? 微分类似。
? L ? c i = ∑ j = 1 N u i j m ? 2 ? ( x j ? c i ) ? ( ? 1 ) = ∑ j = 1 N ( ? 2 ) ? u i j m ( x j ? c i ) = 0 = > ∑ j = 1 N u i j m x j ? ( ∑ j = 1 N u i j m ) c i = 0 = > c i = ∑ j = 1 N u i j m x j ∑ j = 1 N u i j m \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_i} = \sum_{j=1}^N u_{ij}^m \cdot 2 \cdot ( x_j - c_i) \cdot (-1) \\ = \sum_{j=1}^N (-2) \cdot u_{ij}^m (x_j - c_i) = 0 \\ => \sum_{j=1}^N u_{ij}^m x_j - \left(\sum_{j=1}^N u_{ij}^m \right)c_i = 0 \\ => c_i = \frac{\sum_{j=1}^N u_{ij}^m x_j}{\sum_{j=1}^N u_{ij}^m} ?ci??L?=j=1N?uijm??2?(xj??ci?)?(?1)=j=1N?(?2)?uijm?(xj??ci?)=0=>j=1N?uijm?xj??(j=1N?uijm?)ci?=0=>ci?=j=1N?uijm?j=1N?uijm?xj??

那么该算法的流程大致如下;

  1. Initialize the membership values u i j u_{ij} uij?.
  2. At t t t-step: calculate the centers by
    c i = ∑ j = 1 N u i j m x j ∑ j = 1 N u i j m c_i = \frac{\sum_{j=1}^N u_{ij}^m x_j}{\sum_{j=1}^N u_{ij}^m} ci?=j=1N?uijm?j=1N?uijm?xj??
  3. Update u i j u_{ij} uij? by
    u i j = 1 ∥ x j ? c i ∥ 2 m ? 1 ∑ l = 1 K 1 ∥ x j ? c l ∥ 2 m ? 1 u_{ij} = \frac{\frac{1}{\| x_j - c_i\|^{\frac{2}{m-1}}}}{\sum_{l=1}^K \frac{1}{\| x_j - c_l\|^{\frac{2}{m-1}}}} uij?=l=1K?xj??cl?m?12?1?xj??ci?m?12?1??
  4. Compute the value of the objective function J ( t ) J^{(t)} J(t),
    J ( t ) = ∑ i = 1 K ∑ j = 1 N u i j m ∥ x j ? c i ∥ 2 J^{(t)} = \sum_{i=1}^K \sum_{j=1}^N u_{ij}^m \| x_j - c_i\|^2 J(t)=i=1K?j=1N?uijm?xj??ci?2
  5. If ∣ J ( t ) ? J ( t ? 1 ) ∣ < ? |J^{(t)} - J^{(t-1)} | < \epsilon J(t)?J(t?1)<?, then stop; otherwise return to step 2.
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