简介

霍夫圆变换的基本原理和上个教程中提到的霍夫线变换类似, 只是点对应的二维极径极角空间被三维的圆心点x, y还有半径r空间取代.
对直线来说, 一条直线能由参数极径极角表示. 而对圆来说, 我们需要三个参数来表示一个圆, 如上文所说现在原图像的边缘图像的任意点对应的经过这个点的所有可能圆是在三维空间有下面这三个参数来表示了，其对应一条三维空间的曲线. 那么与二维的霍夫线变换同样的道理, 对于多个边缘点越多这些点对应的三维空间曲线交于一点那么他们经过的共同圆上的点就越多，类似的我们也就可以用同样的阈值的方法来判断一个圆是否被检测到, 这就是标准霍夫圆变换的原理, 但也正是在三维空间的计算量大大增加的原因, 标准霍夫圆变化很难被应用到实际中:

一、opencv中的改进

出于上面提到的对运算效率的考虑, OpenCV实现的是一个比标准霍夫圆变换更为灵活的检测方法: 霍夫梯度法, 也叫2-1霍夫变换(21HT), 它的原理依据是圆心一定是在圆上的每个点的模向量上, 这些圆上点模向量的交点就是圆心, 霍夫梯度法的第一步就是找到这些圆心, 这样三维的累加平面就又转化为二维累加平面. 第二部根据所有候选中心的边缘非0像素对其的支持程度来确定半径. 21HT方法最早在Illingworth的论文The Adaptive Hough Transform中提出并详细描述, 也可参照Yuen在1990年发表的A Comparative Study of Hough Transform Methods for Circle Finding, Bradski的《学习OpenCV》一书则对OpenCV中具体对算法的具体实现有详细描述并讨论了霍夫梯度法的局限性.
2-1霍夫变换（也就是霍夫梯度法）把标准霍夫变换的三维霍夫空间缩小为二维霍夫空间，因此无论在内存的使用上还是在运行效率上，2-1霍夫变换都远远优于标准霍夫变换。但该算法有一个不足之处就是由于圆半径的检测完全取决于圆心的检测，因此如果圆心检测出现偏差，那么圆半径的检测肯定也是错误的。
圆周上点的法向量，各点梯度方向，相交于圆心，先找圆心，再确定半径。对图片每个边缘点，找出梯度方向，做直线，将直线的所有点投票，如此，一圈后，得票数最多的一定是圆心。
加上非极大值抑制，排除非圆心，如此找到最终圆心。
再通过圆心确定半径：
边缘上每点，到每个圆心上的距离计算，同意圆心处，得到同一个半径，找到最大得票数的位置。
缺点是圆心对参数的依赖较大。

二、实现步骤

【1】首先对图像应用边缘检测，比如用canny边缘检测。

【2】然后，对边缘图像中的每一个非零点，考虑其局部梯度，即用Sobel（）函数计算x和y方向的Sobel一阶导数得到梯度。

【3】利用得到的梯度，由斜率指定的直线上的每一个点都在累加器中被累加，这里的斜率是从一个指定的最小值到指定的最大值的距离。

【4】同时，标记边缘图像中每一个非0像素的位置。

【5】然后从二维累加器中这些点中选择候选的中心，这些中心都大于给定阈值并且大于其所有近邻。这些候选的中心按照累加值降序排列，以便于最支持像素的中心首先出现。

【6】接下来对每一个中心，考虑所有的非0像素。

【7】这些像素按照其与中心的距离排序。从到最大半径的最小距离算起，选择非0像素最支持的一条半径。8.如果一个中心收到边缘图像非0像素最充分的支持，并且到前期被选择的中心有足够的距离，那么它就会被保留下来。
且当有许多同心圆或者是近似的同心圆时，霍夫梯度法的倾向是保留最大的一个圆。

三、opencv中例子

转成灰度图:
cvtColor( src, src_gray, CV_BGR2GRAY );
执行高斯模糊以降低噪声:
GaussianBlur( src_gray, src_gray, Size(9, 9), 2, 2 );
后两参数为高斯核在两方向上的标准差。

执行霍夫圆变换:
vector<Vec3f> circles;

HoughCircles( src_gray, circles, CV_HOUGH_GRADIENT, 1, src_gray.rows/8, 200, 100, 0, 0 );

函数带有以下自变量:
src_gray: 输入图像 (灰度图)
circles: 存储下面三个参数:  集合的容器来表示每个检测到的圆.
CV_HOUGH_GRADIENT: 指定检测方法. 现在OpenCV中只有霍夫梯度法
dp = 1: 累加器图像的反比分辨率
min_dist = src_gray.rows/8: 检测到圆心之间的最小距离
param_1 = 200: Canny边缘函数的高阈值
param_2 = 100: 圆心检测阈值.
min_radius = 0: 能检测到的最小圆半径, 默认为0.
max_radius = 0: 能检测到的最大圆半径, 默认为0
绘出检测到的圆:
for( size_t i = 0; i < circles.size(); i++ )
{
   Point center(cvRound(circles[i][0]), cvRound(circles[i][1]));
   int radius = cvRound(circles[i][2]);
   // circle center
   circle( src, center, 3, Scalar(0,255,0), -1, 8, 0 );
   // circle outline
   circle( src, center, radius, Scalar(0,0,255), 3, 8, 0 );
 }
你将会看到圆用红色绘出而圆心用小绿点表示
显示检测到的圆:
namedWindow( "Hough Circle Transform Demo", CV_WINDOW_AUTOSIZE );
imshow( "Hough Circle Transform Demo", src );

四、详细参数

第一个参数，InputArray类型的image，输入图像，即源图像，需为8位的灰度单通道图像。
第二个参数，InputArray类型的circles，经过调用HoughCircles函数后此参数存储了检测到的圆的输出矢量，每个矢量由包含了3个元素的浮点矢量(x, y, radius)表示。
第三个参数，int类型的method，即使用的检测方法，目前OpenCV中就霍夫梯度法一种可以使用，它的标识符为CV_HOUGH_GRADIENT，在此参数处填这个标识符即可。
第四个参数，double类型的dp，用来检测圆心的累加器图像的分辨率于输入图像之比的倒数，且此参数允许创建一个比输入图像分辨率低的累加器。上述文字不好理解的话，来看例子吧。例如，如果dp= 1时，累加器和输入图像具有相同的分辨率。如果dp=2，累加器便有输入图像一半那么大的宽度和高度。
第五个参数，double类型的minDist，为霍夫变换检测到的圆的圆心之间的最小距离，即让我们的算法能明显区分的两个不同圆之间的最小距离。这个参数如果太小的话，多个相邻的圆可能被错误地检测成了一个重合的圆。反之，这个参数设置太大的话，某些圆就不能被检测出来了。
第六个参数，double类型的param1，有默认值100。它是第三个参数method设置的检测方法的对应的参数。对当前唯一的方法霍夫梯度法CV_HOUGH_GRADIENT，它表示传递给canny边缘检测算子的高阈值，而低阈值为高阈值的一半。
第七个参数，double类型的param2，也有默认值100。它是第三个参数method设置的检测方法的对应的参数。对当前唯一的方法霍夫梯度法CV_HOUGH_GRADIENT，它表示在检测阶段圆心的累加器阈值。它越小的话，就可以检测到更多根本不存在的圆，而它越大的话，能通过检测的圆就更加接近完美的圆形了。
第八个参数，int类型的minRadius,有默认值0，表示圆半径的最小值。
第九个参数，int类型的maxRadius,也有默认值0，表示圆半径的最大值。