信号与系统的概念
什么是信号处理？
对信号进行某种加工或变换，其目的是：削弱信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；或者是将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。
什么是系统？
广义讲，它设计的范围十分广泛，不仅限于电路、通信和控制方面，还应包括各种物理系统和非物理系统、人工系统以及自然系统。
信号的描述、分类和典型示例
信号的描述
描述信号的方式：
信号的分类
信号可以从不同的角度进行分类：
- 确定性信号与随机信号
- 确定性信号：信号被表示为一确定的时间函数，对于某一时刻，可确定一相应的函数值
- 随机信号：不能给出确切的时间函数，只可能直到它的统计特性
- 周期与非周期信号
- 周期信号：依一定的时间间隔周而复始，而且是无始无终的信号
- 非周期信号：时间上不具备周而复始的特性
- 连续时间信号与离散时间信号
- 连续时间信号：时间函数取值具有连续性
- 离散时间信号：时间函数取值具有离散性
- 一维信号与多维信号
- 一维信号：一个变量的函数，如语音信号可表示为声压随时间变化的函数
- 多维信号：多个变量的函数，如黑白图像每个像素不同的光强度
典型信号
常见的信号有：
f
(
t
)
=
K
e
a
t
f(t)=Ke^{at}
f(t)=Keat
f
(
t
)
=
K
s
i
n
(
w
t
+
θ
)
f(t)=Ksin(wt+\theta)
f(t)=Ksin(wt+θ)
f
(
t
)
=
K
e
s
t
s
=
σ
+
j
ω
f(t)=Ke^{st}\\s=\sigma+j\omega
f(t)=Kests=σ+jω
S
a
(
t
)
=
s
i
n
(
t
)
t
Sa(t)=\frac{sin(t)}{t}
Sa(t)=tsin(t)?
f
(
t
)
=
E
e
?
(
t
τ
)
2
f(t)=Ee^{-{(\frac{t}{\tau})^2}}
f(t)=Ee?(τt?)2
信号的运算
信号常见的运算包括：
阶跃信号与冲激信号
本身具有不连续点或其导数与积分有不连续点的函数，通常被称为奇异函数。常见的奇异函数包括：
f
(
t
)
=
{
0
(
t
<
0
)
t
(
t
≥
0
)
f(t)=\left\{\begin{aligned} 0 \qquad (t<0)\\ t \qquad (t\geq0)\\ \end{aligned} \right.
f(t)={0(t<0)t(t≥0)?
u
(
t
)
=
{
0
(
t
<
0
)
1
(
t
>
0
)
u(t)=\left\{ \begin{aligned} 0 \qquad(t<0) \\ 1 \qquad(t>0) \\ \end{aligned} \right.
u(t)={0(t<0)1(t>0)?
δ
(
t
)
=
lim
?
τ
→
0
1
τ
[
u
(
t
+
τ
2
)
?
u
(
t
?
t
2
)
]
\delta(t)=\lim_{\tau\rightarrow0}\frac{1}{\tau} \left[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{t}{2})\right]
δ(t)=τ→0lim?τ1?[u(t+2τ?)?u(t?2t?)]
当然除了上述的定义外，狄拉克给出冲激函数的另一种定义方式：
{
∫
?
∞
+
∞
δ
(
t
)
d
t
=
1
δ
(
t
)
=
0
(
当
t
≠
0
)
\left\{ \begin{aligned} & \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1 \\ \\ & \delta(t)=0 \qquad (当t\neq0)\\ \end{aligned} \right.
???????????∫?∞+∞?δ(t)dt=1δ(t)=0(当t?=0)?
冲激函数有三个重要的性质：
∫
?
∞
∞
δ
(
t
)
f
(
t
)
d
t
=
f
(
0
)
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f(t)dt=f(0)
∫?∞∞?δ(t)f(t)dt=f(0)
δ
(
t
)
=
δ
(
?
t
)
\delta(t)=\delta(-t)
δ(t)=δ(?t)
δ
(
a
t
)
=
1
a
δ
(
t
)
\delta(at)=\frac{1}{a}\delta(t)
δ(at)=a1?δ(t)
冲激偶信号是冲激函数的微分，是呈现正、负极性的一对冲激，它有两个重要的性质：
∫
?
∞
∞
δ
′
(
t
)
f
(
t
)
d
t
=
?
f
′
(
0
)
\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{'}(t)f(t)dt=-f^{'}(0)
∫?∞∞?δ′(t)f(t)dt=?f′(0)
∫
?
∞
∞
δ
′
(
t
)
d
t
=
0
\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{'}(t)dt=0
∫?∞∞?δ′(t)dt=0
信号的分解
信号可以从不同的角度进行分解：
- 直流分量与交流分量
- 偶分量与奇分量
- 脉冲分量
- 实部分量与虚部分量
- 正交函数分量
- 利用分形理论描述信号
系统模型及分类
系统模型的表达形式：
数学模型的差异下系统的分类：
- 连续时间系统与离散时间系统、
- 系统的输入与输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号，则称此系统为连续时间系统
- 系统的输入与输出都是离散时间信号，则称此系统为离散时间系统
- 即时系统与动态系统
- 如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态无关，则称此系统为即时系统
- 如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关，这种系统称为动态系统
- 集总参数系统与分布参数系统
- 只由集总参数原件组成的系统称为集总参数系统，用常微分方程作为它的数学模型
- 含有分布参数元件的系统是分布参数系统，用偏微分方程作为它的数学模型
- 线性系统与非线性系统
- 具有叠加性与均匀性的系统称为线性系统
- 不满足叠加性或均匀性的系统称为非线性系统
- 时变系统与时不变系统
- 如果系统的参数不随时间而变化，则称此系统为时不变系统
- 如果系统的参数随时间改变，则称其为时变系统
- 可逆系统与不可逆系统
- 若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统
- 若系统在不同的激励信号作用下存在产生相同的响应，则称此系统为不可逆系统
- 因果系统与非因果系统
- 系统在当前时刻的响应只与当前时刻及之前的输入有关，则称此系统为因果系统
- 系统在当前时刻的响应不只与当前时刻及之前的输入有关，则称此系统为非因果系统
- 稳定系统与非稳定系统
- 如果系统的输入有界时，产生的输出也是有界的，则称此系统是稳定系统
- 如果系统的输入有界时，产生的输出不是有界的，则称此系统是非稳定系统
线性时不变系统
系统特性：
LTI系统分析方法
系统的数学描述方法：
系统数学模型的求解方法：
扩展
如何将一个信号表示为脉冲分量之和？
f
(
t
)
≈
∑
t
1
=
?
∞
∞
f
(
t
1
)
[
u
(
t
?
t
1
)
?
u
(
t
?
t
1
?
△
t
1
)
]
=
∑
t
1
=
?
∞
∞
f
(
t
1
)
[
u
(
t
?
t
1
)
?
u
(
t
?
t
1
?
△
t
1
)
]
△
t
1
?
△
t
1
=
l
i
m
△
t
1
→
0
∑
t
1
=
?
∞
∞
f
(
t
1
)
δ
(
t
?
t
1
)
△
t
1
=
∫
?
∞
∞
f
(
t
1
)
δ
(
t
?
t
1
)
d
t
1
\begin{aligned} f(t)&\approx\sum_{t_{1}={-\infty}}^{\infty}f(t_{1})[u(t-t_{1})-u(t-t_{1}-{\vartriangle}t_{1})] \\ &=\sum_{t_{1}={-\infty}}^{\infty}f(t_{1}){\frac{[u(t-t_{1})-u(t-t_{1}-{\vartriangle}t_{1})]}{{\vartriangle}t_{1}}}{\cdot}{\vartriangle}t_{1} \\ &={lim}_{{\vartriangle}t_{1}\rightarrow0}\sum_{t_{1}={-\infty}}^{\infty}f(t_{1})\delta(t-t_{1}){\vartriangle}t_{1} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(t_{1})\delta(t-t_{1})dt_{1} \end{aligned}
f(t)?≈t1?=?∞∑∞?f(t1?)[u(t?t1?)?u(t?t1??△t1?)]=t1?=?∞∑∞?f(t1?)△t1?[u(t?t1?)?u(t?t1??△t1?)]??△t1?=lim△t1?→0?t1?=?∞∑∞?f(t1?)δ(t?t1?)△t1?=∫?∞∞?f(t1?)δ(t?t1?)dt1??
如何将一个信号表示为阶跃信号之和？（假定t<0时，f(t)=0）
f
(
t
)
=
f
(
0
)
u
(
t
)
+
∑
t
1
=
△
t
1
∞
[
f
(
t
1
)
?
f
(
t
1
?
△
t
1
)
]
u
(
t
?
t
1
)
=
f
(
0
)
u
(
t
)
+
∑
t
1
=
△
t
1
∞
[
f
(
t
1
)
?
f
(
t
1
?
△
t
1
)
]
△
t
1
u
(
t
?
t
1
)
△
t
1
=
f
(
0
)
u
(
t
)
+
∫
0
∞
d
f
(
t
1
)
d
t
1
u
(
t
?
t
1
)
d
t
1
\begin{aligned} f(t)&=f(0)u(t)+\sum_{t_{1}={\vartriangle}t_{1}}^{\infty}[f(t_{1})-f(t_{1}-{\vartriangle}t_{1})]u(t-t_{1}) \\ &=f(0)u(t)+\sum_{t_{1}={\vartriangle}t_{1}}^{\infty}\frac{[f(t_{1})-f(t_{1}-{\vartriangle}t_{1})]}{{\vartriangle}t_{1}}u(t-t_{1}){\vartriangle}t_{1} \\ &=f(0)u(t)+\int_0^{\infty}\frac{df(t_1)}{dt_1}u(t-t_{1})dt_{1} \end{aligned}
f(t)?=f(0)u(t)+t1?=△t1?∑∞?[f(t1?)?f(t1??△t1?)]u(t?t1?)=f(0)u(t)+t1?=△t1?∑∞?△t1?[f(t1?)?f(t1??△t1?)]?u(t?t1?)△t1?=f(0)u(t)+∫0∞?dt1?df(t1?)?u(t?t1?)dt1??
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