重要概念：
1 线性可分：
2 线性不可分：
图1
图2
基于二维特征空间时，有如下定义：
以上间隔确定的直线并不唯一。
支持向量机寻找的最优分类直线应满足的条件：
1 该直线分开了两类
2 该直线有最大间隔
3 该直线处于间隔中间，到所有支持向量距离相等。
线性可分情况下，支持向量机寻找最佳超平面的优化问题可以有如下表述：
在推导之前，有如下两个事实：
1
2
基于上述事实，有如下推导过程：
关键过程1：
优化问题为求最大的d，转换为求最小的||w||，上述表述中加1/2，是为了后续求导方便。
可以看出这是典型的凸优化问题中的二次规划问题。
关于二次规划问题的定义：
1 目标函数是二次项，（||w||^2）
2 限制条件是一次项， （yi）
凸优化问题只有唯一的全局极值，应用梯度下降算法，可以很方便的求出。
线性不可分情况，对于以上的表述是无解的，即求不出对应的w和b，为此，需要定义松弛函数，对限制条件进行适当放松，以满足求解需要。限制条件可以改成：
同时需要加入相应限制，防止每个δ无限制扩大。修改后最终如下：
其中，比例因子C是人为设定的（需要人为事先设定的参数称为算法的超参数）。一般会选取不同超参数C，对于每个C，进行算法识别率测试，最终选定能使算法识别率达到最大的超参数C。超参数越多，算法需要手动调整的部分就越多。支持向量机是超参数很少的算法模型。
将训练样本由低维映射到高维可以增加线性可分的概率（有如下假设和定理）：
将x映射为φ（x）后，以上描述又可变为：