[人工智能]2021-09-05

第一次作业：深度学习基础

一、数据操作

• 基本操作

? ?张量（Tensor）：实际为n维数组，具有一个轴的对应数学上的向量，具有两个轴的对应数学上的矩阵，三个及以上的无特殊称谓。

1. arrange可创建一个行向量，即一个轴的张量，其中每个值称为张量的元素（element）
2. shape可以访问张量的形状（沿每个轴的长度）
3. numel可以知道张量中所有元素的总数
4. reshape可以改变张量的形状，比如将向量改变为矩阵，只需规定一个及以上的轴的长度，其他轴的长度可以用-1代替
5. 可以使用全0、全1、其他常量或者从特定分布中随机采样的数字来初始化矩阵
6. 可以通过提供包含数值的Python列表（或嵌套列表）来为所需张量中的每个元素赋予确定值。最外层的列表对应于轴0，内层的列表对应于轴1。

• 运算操作

1. 对于任意具有相同形状的张量，常见的标准算术运算符（+、-、*、/和**）都可以被升级为按元素运算。我们可以在同一形状的任意两个张量上调用按元素操作
2. 可以把多个张量连结在一起，把它们端对端地叠起来形成一个更大的张量。 我们只需要提供张量列表，并给出沿哪个轴连结。

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3,4))
Y = torch.tensor([[2.0, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
torch.cat((X, Y), dim=0), torch.cat((X, Y), dim=1)

(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5 .,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [ 2.,  1.,  4.,  3.],
         [ 1.,  2.,  3.,  4.],
         [ 4.,  3.,  2.,  1.]]),
 tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.,  2.,  1.,  4.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.,  1.,  2.,  3.,  4.],
         [ 8.,  9., 10., 11.,  4.,  3.,  2.,  1.]]))

cat操作可连结两个张量，dim=0是指在矩阵的行上操作，如上所示，是把X和Y两个张量在行上面“堆”起来了，dim=1是指在矩阵的列上面操作，如上所示，是将原来张量的列拓宽了。

? ? ?3.可以通过逻辑运算符创建二元张量，比如用==、>和<

? ? ?4.sum对张量中的所有元素进行求和会产生一个只有一个元素的张量。

• 广播机制

?当在形状不同的张量上进行计算时，需要使用广播机制，首先，通过适当复制元素来扩展一个或两个数组，以便在转换之后，两个张量具有相同的形状。其次，对生成的数组执行按元素操作。

a = torch.arange(3).reshape((3, 1))
b = torch.arange(2).reshape((1, 2))
a, b

• 索引和切片

1. 与Python中对于索引的使用一样，有正索引和负索引（负值）两种索引，使用方括号选定区间访问元素时是左闭右开的区间
2. 可以通过指定索引来将元素写入矩阵
3. 如果我们想为多个元素赋值相同的值，我们只需要索引所有元素，然后为它们赋值。 例如，[0:2,?:]访问第1行和第2行，其中“:”代表沿轴1（列）的所有元素。虽然我们讨论的是矩阵的索引，但这也适用于向量和超过2个维度的张量

X[0:2, :] = 12
X

• 节省内存

可使用切片操作进行原地更新操作，使得更新后的指向不变（更新后的结果的ID与原来的相同），切片的结果是原列表片段或者全部的拷贝（与原来ID不同）

Z = torch.zeros_like(Y)
print('id(Z):', id(Z))
Z[:] = X + Y
print('id(Z):', id(Z))

id(Z): 140272150341696
id(Z): 140272150341696

• 转换为其他Python对象

A = X.numpy()
B = torch.tensor(A)
type(A), type(B)

a = torch.tensor([3.5])
a, a.item(), float(a), int(a)

二、数据预处理

1. 读取数据集

?首先创建一个人工数据集，并存储在csv（逗号分隔值，其文件以纯文本形式存储表格数据（数字和文本））文件../data/house_tiny.csv中

import os

os.makedirs(os.path.join('..', 'data'), exist_ok=True)
data_file = os.path.join('..', 'data', 'house_tiny.csv')
with open(data_file, 'w') as f:
    f.write('NumRooms,Alley,Price\n')  # 列名
    f.write('NA,Pave,127500\n')  # 每行表示一个数据样本
    f.write('2,NA,106000\n')
    f.write('4,NA,178100\n')
    f.write('NA,NA,140000\n')

要从创建的CSV文件中加载原始数据集，我们导入pandas包并调用read_csv函数

# 如果没有安装pandas，只需取消对以下行的注释：
# !pip install pandas
import pandas as pd

data = pd.read_csv(data_file)
print(data)

? ? 2.?处理缺失值

? ? ?例子中，“NaN”项代表缺失值。为了处理缺失的数据，典型的方法包括插值和删除，其中插值用替代值代替缺失值。而删除则忽略缺失值。

? ? ?通过位置索引iloc，我们将data分成inputs和outputs，其中前者为data的前两列，而后者为data的最后一列。对于inputs中缺少的数值，我们用同一列的均值替换“NaN”项??

inputs, outputs = data.iloc[:, 0:2], data.iloc[:, 2]
inputs = inputs.fillna(inputs.mean())
print(inputs)

    NumRooms Alley
0       3.0  Pave
1       2.0   NaN
2       4.0   NaN
3       3.0   NaN

? ? ? ?对于inputs中的类别值或离散值，我们将“NaN”视为一个类别。由于“巷子”（“Alley”）列只接受两种类型的类别值“Pave”和“NaN”，pandas可以自动将此列转换为两列“Alley_Pave”和“Alley_nan”。巷子类型为“Pave”的行会将“Alley_Pave”的值设置为1，“Alley_nan”的值设置为0。缺少巷子类型的行会将“Alley_Pave”和“Alley_nan”分别设置为0和1。

inputs = pd.get_dummies(inputs, dummy_na=True)
print(inputs)

     NumRooms  Alley_Pave  Alley_nan
0       3.0           1          0
1       2.0           0          1
2       4.0           0          1
3       3.0           0          1

? ? ? 3. 转换为张量格式

import torch

X, y = torch.tensor(inputs.values), torch.tensor(outputs.values)
X, y

(tensor([[3., 1., 0.],
         [2., 0., 1.],
         [4., 0., 1.],
         [3., 0., 1.]], dtype=torch.float64),
 tensor([127500, 106000, 178100, 140000]))

三、线性代数

1、标量：仅包含一个数值的叫标量（scalar）

2、向量：可以将向量视为标量值组成的列表（列向量为向量的默认方向）。我们将这些标量值称为向量的元素（element）或分量（component）。我们通过一维张量处理向量。一般来说，张量可以具有任意长度，取决于机器的内存限制。

在代码中，我们通过张量的索引来访问任一元素。

x[3]

向量的长度和维度相等，指包含标量的个数，当用张量表示一个向量（只有一个轴）时，我们也可以通过.shape属性访问向量的长度。形状（shape）是一个元组，列出了张量沿每个轴的长度（维数）。对于只有一个轴的张量，形状只有一个元素。当张量的维度用来表示张量具有的轴数。在这个意义上，张量的某个轴的维数就是这个轴的长度。

3、矩阵：用.reshape讲一元张量转换为二元张量（矩阵）

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A

矩阵的转置

A.T

对称矩阵可手动定义，再将其与转置矩阵进行张量的逻辑运算，判断是否对称。

4、张量

当我们开始处理图像时，张量将变得更加重要，图像以nn维数组形式出现，其中3个轴对应于高度、宽度，以及一个通道（channel）轴，用于堆叠颜色通道（红色、绿色和蓝色）。其他张量的操作前面已经学习过。

5、张量算法的基本性质

两个矩阵的按元素乘法称为哈达玛积（Hadamard product）（数学符号⊙）区别于矩阵乘法

将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状（方向不变，只是改变了大小），其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。

?6、降维

? ? ? ?默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。 我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），我们可以在调用函数时指定axis=0。 由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量，因此输入的轴0的维数在输出形状中丢失。

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

7、矩阵-向量积

A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)

8、矩阵-矩阵乘法

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)

9、范数：L1范数为向量元素的平方和的平方根，L2范数为向量元素的绝对值之和，与L2范数相比，L1范数受异常值的影响较小

u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)

矩阵的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根

torch.norm(torch.ones((4, 9)))

在深度学习中，我们经常试图解决优化问题：?最大化分配给观测数据的概率;?最小化预测和真实观测之间的距离。 用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。 通常，目标，或许是深度学习算法最重要的组成部分（除了数据），被表达为范数。

四、微分

%matplotlib inline
import numpy as np
from IPython import display
from d2l import torch as d2l


def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x

绘制函数u=f(x)及其在x=1处的切线y=2x?3，其中系数2是切线的斜率

x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])

? ? ?偏导数，梯度，链式法则

五、自动求导

? ? ?深度学习框架通过自动计算导数，即自动求导（automatic differentiation），来加快这项工作。实际中，根据我们设计的模型，系统会构建一个计算图（computational graph），来跟踪计算是哪些数据通过哪些操作组合起来产生输出。自动求导使系统能够随后反向传播梯度。 这里，反向传播（backpropagate）只是意味着跟踪整个计算图，填充关于每个参数的偏导数。?

? ? 标量链式法则拓展到向量链式法则

?

?https://my.oschina.net/amyhome/blog/691317向量求导

import torch

x = torch.arange(4.0)
x

? tensor([0., 1., 2., 3.])

x.requires_grad_(True)  # 等价于 `x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)`
x.grad  # 默认值是None

y = 2 * torch.dot(x, x)
y

tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)

y.backward()
x.grad

tensor([ 0.,  4.,  8., 12.])

x.grad == 4 * x

tensor([True, True, True, True])

https://zhuanlan.zhihu.com/p/109755675