基于分析Laplace方程“放射状”函数特解的基本解引入

参考文献：【偏微分方程笔记(2)——Laplace(位势)方程的基本解】

1. 基本定义

关于函数 $u(x_1,x_2,...,x_n)$ 的 $n$ 维Laplace方程是:
$\Delta u=u_{x_1x_1}+u_{x_2x_2}+...+u_{x_nx_n}=0 \tag 1$
它的解称为调和函数或势函数。

2. 寻找特解

由于Laplace方程作旋转以后是不变的，因此我们似乎可以先去找“放射状（radial）”的函数，也就是：
$r=|x|=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \tag 2$
首先尝试在 $n$ 维线性空间中寻找满足Laplace方程 $(1)$ 的一个解 $u$ ，具有形式：
$\tag 3$
首先注意到对于 $i = 1, 2, . . ., n$ ，有：
$\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{1}{2\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}} 2x_i = \frac{x_i}{r}(x \not =0) \tag 4$
因此：
$u (x)$ 的一阶导数有：
$u_{x_i}=\frac{\partial v}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x_i} = v'(r) \frac{x_i}{r} \tag 5$
$u (x)$ 的二阶导数有：
$u_{x_ix_i}=\frac{\partial u_{x_i}}{\partial x_i}=\frac{\partial}{\partial x_i} (\frac{\partial v}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x_i}) \\ = \frac{\partial^2 v}{\partial x_i \partial r} \frac{\partial r}{\partial x_i} + \frac{\partial^2 r}{\partial x_i \partial x_i} \frac{\partial v}{\partial r} \\ =[\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x_i}(v'(r))]·\frac{x_i}{r} + [\frac{\partial}{\partial x_i} (\frac{x_i}{r})]·v'(r) \tag 6$
对于前式中括号中的式子：
$\frac{\partial}{\partial r} (\frac{x_i v'(r)}{r}) = \frac{x_i[v^{''}(r)r-v'(r)]}{r^2} \tag 7$
对于后式中括号中的式子：
$\frac{\partial}{\partial x_i} (\frac{x_i}{r}) = \frac{1}{r} \tag 8$
故 $u (x)$ 的二阶偏导数：
$u_{x_ix_i}=v^{''}(r) \frac{x_i^2}{r^2} + v'(r) (\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}) \tag 9$
因此：
$\Delta u=v^{''}(r)+\frac{n-1}{r} v'(r) \tag {10}$
因此 $\Delta u=0$ 当且仅当
$v^{''}+\frac{n-1}{r} v'=0 \tag {11}$

3. 解常微分方程

如果 $\not =0$ ，则：
$ln(|v'|)'=\frac{v^{''}}{v'}=\frac{1-n}{r} \tag {12}$
存在常数 $a$ 使得：
$v'(r)=\frac{a}{r^{n-1}} \tag {13}$
因此如果 $r > 0$ ，我们有：
当 $n = 1$ 时：
$\tag {14}$
当 $n = 2$ 时：
$\ ln r+c \tag {15}$
当 $\geq 3$ 时：
$v(r)=\frac{b}{r^{n-2}}+c \tag {16}$
这里 $b, c$ 均为常数。