一、灰色系统概述
（一）概念
????????1.灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。
????????2.黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
????????3.白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。
????????4.灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并可对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
????????5.灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
（二）灰色系统应用范畴
????????1.灰色关联分析
????????2.灰色预测：人口预测、灾变预测等。
????????3.灰色决策
????????4.灰色预测控制
（三）灰色预测的四种常见模型
????????1.灰色时间序列预测
????????即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
????????2.畸变预测
????????即通过灰色模型预测异常值出现的时刻， 预测异常值什么时候出现在特定时区内。
????????3.系统预测
????????通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
????????4.拓扑预测
????????将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。
二、步骤
????????1.确定反映系统行为特征的参考数列X0和影响系统行为的比较数列Xi（k表示时刻）
????????
????????
????????2.对参考数列和比较数列进行无量纲化处理
????????3.求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξi（k）
????????🤩所谓关联程度，实质上是曲线间几何形状的差别程度。因此曲线间差值大小，可作为关联程度的衡量尺度。
????????🤩其中ρ∈[0,+∞）为分辨系数。一般来讲，分辨系数ρ∈[0,1），由上式可知，ρ越大分辨率越大，反之分辨率越小。
????????4.求取关联度
????????🐷3中求取的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联系数，信息显得分散，不便于比较，由此我们计算关联度来反映二者的关联程度。
????????5.排关联序
????????因素间的关联程度，主要是用关联度的大小次序描述，而不仅是关联度的大小。将m个子序列对同一母序列的关联度按大小顺序排列起来，便组成了关联序，记为{x}，它反映了对于母序列来说各子序列的“优劣”关系。
三、灰色生成数列
（一）累加生成（AGO）
????????把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。
????????1.步骤
????????设原始数列为：
????????则
? ? ? ? 令
称上式所示新数列为数列
的一次累加生成数列。
????????类似地，有
?该式为数列的r次累加生成数列。
?
????????2.特点
????????一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。如下方三幅图所示。左侧为原始数列作图，右侧为1-AGO作图
1-AGO后有递增的规律，如某市的汽车销售量
1-AGO后有有明显的指数关系的规律，如某地区作物产量
1-AGO后有s型变化规律，如某钢厂产量
（二）累减生成(IAGO)
????????对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程。具有求导性质
????????原始数列为：
????????令
（三）加权邻值生成
????????设原始数列为：
????????称
为数列的任意一对临值，分别称后临值与前临值，对于常数α∈[0,1）
????????令
三、灰色模型GM（1，1）
（一）灰微分方程模型
????????1.设原始数列𝑥(0)，易得其1次累加数列𝑥(1)，同时令𝑧(1)为数列𝑥(1)的邻值生成数列。
????????2.定义𝑥（1）的灰导数为
????????3.于是定义GM（1，1）的灰微分方程模型为：
????????
，即或
????????将k=2，3，…，n代入上式，得
????????引入矩阵向量记号：
????????于是GM（1，1）模型可表示为Y=Bu。用一元线性回归，即最小二乘法求a,b的估计值为
?
?（二）GM（1，1）的白化型
（三）GM（1，1）灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理
????????为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理，即计算数列的级比λ：
????????如果所有的级比λ都落在可容覆盖区间
内，则原数列可建立GM（1,1）模型且可以进行灰色预测。否则对数据做适当的变换处理，如平移变换：取C使得数列：
????????于是得到预测值：
3. 检验预测值
????????（1）残差检验
????????
????????若对所有|ε(k)|<0.1，则认为达到较高要求。
????????若对所有|ε(k)|<0.2，则认为达到一般要求。
????????（2）级比偏差值检验
????????若对所有|ρ(k)|<0.1，则认为达到较高要求。
????????若对所有|ρ(k)|<0.2，则认为达到一般要求。