利用振幅型空间光调制器实现相移
利用振幅型空间光调制器实现相移
0 引言
必须实现声明，这篇博客并不是我的想法，而是我在知网上拜读大佬们的论文写的学习笔记。
利用振幅型空间光调制器作相移器的相移干涉术
看过原文之后，不得不说真的是打开眼界啊！
下面开始讲解我对这篇论文的认识
1 概述
问题
- 图像重建？怎样通过干涉图像重建物体图像。文中使用四步相移的方法来恢复出物体重建像。
- 怎样实现相移？
- 通过相移怎样得到物体重建像？
3 公式推导
1 c o m b ( x ) comb(x) comb(x)函数
函数定义
c
o
m
b
(
x
)
=
∑
n
=
?
∞
∞
δ
(
x
?
n
)
comb(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty\delta(x-n)
comb(x)=∑n=?∞∞?δ(x?n)
函数性质
- 伸缩性质：
c o m b ( a x ) = 1 ∣ a ∣ ∑ n = ? ∞ ∞ δ ( a x ? n ) = 1 ∣ a ∣ ∑ n = ? ∞ ∞ δ ( x ? n a ) comb(ax) = \frac{1}{|a|}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(ax-n) = \frac{1}{|a|}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(x-\frac{n}{a}) comb(ax)=∣a∣1?∑n=?∞∞?δ(ax?n)=∣a∣1?∑n=?∞∞?δ(x?an?) (1) - 取样性质
f ( x ) c o m b ( x a ) = ∣ a ∣ f ( x ) ∑ n = ? ∞ ∞ δ ( x a ? n ) = ∣ a ∣ f ( x ) ∑ n = ? ∞ ∞ δ ( x ? a n ) f(x)comb(\frac{x}{a}) \\ \quad =|a| f(x)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\frac{x}{a} - n) \\ \quad = |a| f(x)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x - an) f(x)comb(ax?)=∣a∣f(x)∑n=?∞∞?δ(ax??n)=∣a∣f(x)∑n=?∞∞?δ(x?an)
其中 a a a表示取样间隔。 - 平移性质
c o m b ( x + a ) = ∑ n = ? ∞ ∞ δ ( x + a ? n ) comb(x+a) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x+a-n) comb(x+a)=∑n=?∞∞?δ(x+a?n)
2 F F T { T T 0 } FFT\{TT_0\} FFT{TT0?}的推导
重新写一遍
T
,
T
0
T,T_0
T,T0?的表达式
T
0
=
r
e
c
t
(
x
a
x
,
y
a
y
)
×
1
d
x
d
y
c
o
m
b
(
x
d
x
,
y
d
y
)
(2)
T_0 = rect(\frac{x}{a_x},\frac{y}{a_y})\times \frac{1}{d_xd_y}comb(\frac{x}{dx},\frac{y}{d_y}) \tag{2}
T0?=rect(ax?x?,ay?y?)×dx?dy?1?comb(dxx?,dy?y?)(2)
同理
T
=
r
e
c
t
(
x
?
b
d
/
2
)
×
1
d
c
o
m
b
(
x
d
)
(3)
T = rect(\frac{x-b}{d/2}) \times\frac{1}{d}comb(\frac{x}{d})\tag{3}
T=rect(d/2x?b?)×d1?comb(dx?)(3)
推导
T
T
0
TT_0
TT0?的结果
T
T
0
=
[
r
e
c
t
(
x
?
b
d
/
2
)
×
1
d
c
o
m
b
(
x
d
)
]
×
[
r
e
c
t
(
x
a
x
,
y
a
y
)
×
1
d
x
d
y
c
o
m
b
(
x
d
x
,
y
d
y
)
]
?
(4)
TT_0 =\\\big[rect(\frac{x-b}{d/2}) \times\frac{1}{d}comb(\frac{x}{d})\big]\\\times\\\big[ rect(\frac{x}{a_x},\frac{y}{a_y})\times \frac{1}{d_xd_y}comb(\frac{x}{dx},\frac{y}{d_y})\big] \quad \ \quad\tag{4}
TT0?=[rect(d/2x?b?)×d1?comb(dx?)]×[rect(ax?x?,ay?y?)×dx?dy?1?comb(dxx?,dy?y?)]?(4)
下面开始对这个结果做一次傅里叶变换
F
F
T
{
T
T
0
}
=
F
F
T
{
T
}
?
F
F
T
{
T
0
}
(5)
FFT\{TT_0\} = FFT\{T\}*FFT\{T_0\}\tag{5}
FFT{TT0?}=FFT{T}?FFT{T0?}(5)
F
F
T
{
T
0
}
=
F
F
T
{
r
e
c
t
(
x
a
x
,
y
a
y
)
×
1
d
x
d
y
c
o
m
b
(
x
d
x
,
y
d
y
}
=
F
F
T
{
r
e
c
t
(
x
a
x
,
y
a
y
)
}
?
F
F
T
{
1
d
x
d
y
c
o
m
b
(
x
d
x
,
y
d
y
)
}
(6)
FFT\{T_0\} = FFT\{rect(\frac{x}{a_x},\frac{y}{a_y})\times \frac{1}{d_xd_y}comb(\frac{x}{dx},\frac{y}{d_y}\} \\=FFT\{rect(\frac{x}{a_x},\frac{y}{a_y})\} * FFT\{\frac{1}{d_xd_y}comb(\frac{x}{dx},\frac{y}{d_y})\} \tag{6}
FFT{T0?}=FFT{rect(ax?x?,ay?y?)×dx?dy?1?comb(dxx?,dy?y?}=FFT{rect(ax?x?,ay?y?)}?FFT{dx?dy?1?comb(dxx?,dy?y?)}(6)
由于笔者数学功底是在是太差，把式(6)中的每一部分再拿出来看看
F
F
T
{
r
e
c
t
(
x
a
x
,
y
a
y
)
}
=
a
x
a
y
s
i
n
c
(
x
a
x
,
y
a
y
)
(7)
FFT\{rect(\frac{x}{a_x},\frac{y}{a_y})\} =a_xa_ysinc(xa_x,ya_y)\tag{7}
FFT{rect(ax?x?,ay?y?)}=ax?ay?sinc(xax?,yay?)(7)
F
F
T
{
1
d
x
d
y
c
o
m
b
(
x
d
x
,
y
d
y
)
}
=
d
x
d
y
d
x
d
y
c
o
m
b
(
f
x
d
x
,
f
y
d
y
)
(8)
FFT\{\frac{1}{d_xd_y}comb(\frac{x}{dx},\frac{y}{d_y})\} = \frac{d_xd_y}{d_xd_y}comb(f_xd_x,f_yd_y)\tag{8}
FFT{dx?dy?1?comb(dxx?,dy?y?)}=dx?dy?dx?dy??comb(fx?dx?,fy?dy?)(8)
下面根据
c
o
m
b
comb
comb函数的缩放性质式(1)我们将式(8)再进一步写开，
式
(
8
)
=
c
o
m
b
(
f
x
d
x
,
f
y
d
y
)
=
1
d
x
d
y
∑
m
=
?
∞
∞
∑
n
=
?
∞
∞
δ
(
f
x
d
x
?
m
,
f
y
d
y
?
n
)
=
1
d
x
d
y
∑
m
=
?
∞
∞
∑
n
=
?
∞
∞
δ
(
f
x
?
m
d
x
,
f
y
?
n
d
y
)
(9)
式(8) = comb(f_xd_x,f_yd_y) =\frac{1}{d_xd_y} \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(f_xd_x - m,f_yd_y - n) \\=\frac{1}{d_xd_y} \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(f_x - \frac{m}{d_x},f_y -\frac{n}{d_y})\tag{9}
式(8)=comb(fx?dx?,fy?dy?)=dx?dy?1?m=?∞∑∞?n=?∞∑∞?δ(fx?dx??m,fy?dy??n)=dx?dy?1?m=?∞∑∞?n=?∞∑∞?δ(fx??dx?m?,fy??dy?n?)(9)
现在我们式(7)、式(9)回带到式(6)中可得
F
F
T
{
T
0
}
=
a
x
a
y
d
x
d
y
s
i
n
c
(
f
x
a
x
,
f
y
a
y
)
∑
m
=
?
∞
∞
∑
n
=
?
∞
∞
δ
(
f
x
?
m
d
x
,
f
y
?
n
d
y
)
=
a
x
a
y
d
x
d
y
∑
m
=
?
∞
∞
∑
n
=
?
∞
∞
s
i
n
c
(
a
x
m
d
x
,
a
y
n
d
y
)
δ
(
f
x
?
m
d
x
,
f
y
?
n
d
y
)
(10)
FFT\{T_0\} = \frac{a_xa_y}{d_xd_y}sinc(f_xa_x,f_ya_y)\sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(f_x-\frac{m}{d_x},f_y-\frac{n}{d_y}) \\= \frac{a_xa_y}{d_xd_y}\sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty sinc(\frac{a_xm}{d_x},\frac{a_y n}{d_y})\delta(f_x-\frac{m}{d_x},f_y-\frac{n}{d_y}) \tag{10}
FFT{T0?}=dx?dy?ax?ay??sinc(fx?ax?,fy?ay?)m=?∞∑∞?n=?∞∑∞?δ(fx??dx?m?,fy??dy?n?)=dx?dy?ax?ay??m=?∞∑∞?n=?∞∑∞?sinc(dx?ax?m?,dy?ay?n?)δ(fx??dx?m?,fy??dy?n?)(10)
下面我们来稍微解释一下式(10)
在第二个等号的时候，我们知道由于 δ \delta δ函数的性质，只有当 f x = m d x , f y = n d y f_x=\frac{m}{d_x},f_y=\frac{n}{d_y} fx?=dx?m?,fy?=dy?n?时， δ \delta δ函数才不为0，所以上面我们直接就取了 f x = m d x , f y = n d y f_x=\frac{m}{d_x},f_y=\frac{n}{d_y} fx?=dx?m?,fy?=dy?n?,因为其他地方也没有意义
下面我们在来求解
F
F
T
{
T
}
FFT\{T\}
FFT{T}
F
F
T
{
T
}
=
F
F
T
{
r
e
c
t
(
x
?
b
d
/
2
)
×
1
d
c
o
m
b
(
x
d
)
}
=
F
F
T
{
r
e
c
t
(
x
?
b
d
/
2
)
}
?
F
F
T
{
1
d
c
o
m
b
(
x
d
)
}
(11)
FFT\{T\} = FFT\{ rect(\frac{x-b}{d/2}) \times\frac{1}{d}comb(\frac{x}{d})\} \\=FFT\{rect(\frac{x-b}{d/2}) \} * FFT\{\frac{1}{d}comb(\frac{x}{d})\}\tag{11}
FFT{T}=FFT{rect(d/2x?b?)×d1?comb(dx?)}=FFT{rect(d/2x?b?)}?FFT{d1?comb(dx?)}(11)
还是拆开来看
F
F
T
{
r
e
c
t
(
x
?
b
d
/
2
)
}
=
F
F
T
{
r
e
c
t
[
2
d
(
x
?
b
)
]
}
=
d
2
e
x
p
(
i
2
π
f
x
b
)
s
i
n
c
(
f
x
d
2
)
(12)
FFT\{rect(\frac{x-b}{d/2})\} = FFT\{rect\big[\frac{ 2}{d}(x-b) \big]\} \\=\frac{d}{2}exp(i2\pi f_xb)sinc(f_x\frac{d}{2})\tag{12}
FFT{rect(d/2x?b?)}=FFT{rect[d2?(x?b)]}=2d?exp(i2πfx?b)sinc(fx?2d?)(12)
下面我们来慢慢的讨论一下这个结果怎么来的，
首先我们将 r e c t rect rect函数中的参数进行调整一下，可以发现这个函数中的参数进行了缩放以及位移，而根据傅里叶变换的性质如下(假设 f ( x ) 和 f ~ ( f x ) f(x)和\tilde{f}(f_x) f(x)和f~?(fx?)是一对傅里叶变换对)
F F T { f ( x + a ) } = f ~ ( f x ) e x p ( ? i 2 π f x a ) F F T { f ( a x ) } = 1 ∣ a ∣ f ~ ( x ∣ a ∣ ) F F T { r e c t ( x ) } = s i n c ( f x ) FFT\{f(x+a)\} = \tilde{f}(f_x)exp(-i2\pi f_xa)\\ FFT\{f(ax)\} = \frac{1}{|a|}\tilde{f}(\frac{x}{|a|})\\ FFT\{rect(x)\} = sinc(f_x) FFT{f(x+a)}=f~?(fx?)exp(?i2πfx?a)FFT{f(ax)}=∣a∣1?f~?(∣a∣x?)FFT{rect(x)}=sinc(fx?)
根据上面的傅里叶变换的平移性质和伸缩性质,以及 r e c t rect rect函数和 s i n c sinc sinc函数这个傅里叶变化对，我们就可以写出上面的 r e c t ( [ 2 d ( x ? b ) ] ) rect(\big[\frac{2}{d}(x-b)\big]) rect([d2?(x?b)])的结果了。
F
F
T
{
1
d
c
o
m
b
(
x
d
)
}
=
1
d
d
c
o
m
b
(
f
x
d
)
=
c
o
m
b
(
d
f
x
)
=
1
d
∑
k
=
?
∞
∞
δ
(
d
f
x
?
k
)
=
1
d
∑
k
=
?
∞
∞
δ
(
f
x
?
k
d
)
(13)
FFT\{\frac{1}{d}comb(\frac{x}{d})\} = \frac{1}{d}dcomb(\frac{f_x}{d}) \\=comb(df_x)=\frac{1}{d}\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(df_x- k)=\frac{1}{d}\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(f_x-\frac{k}{d})\tag{13}
FFT{d1?comb(dx?)}=d1?dcomb(dfx??)=comb(dfx?)=d1?k=?∞∑∞?δ(dfx??k)=d1?k=?∞∑∞?δ(fx??dk?)(13)
将式(13)和式(12)回带到式(11)中可得
式
(
11
)
=
d
2
e
x
p
(
i
2
π
f
x
b
)
s
i
n
c
(
f
x
d
2
)
∑
n
=
?
∞
∞
δ
(
f
x
?
k
d
)
=
1
2
e
x
p
(
i
2
π
k
b
d
)
s
i
n
c
(
k
2
)
∑
k
=
?
∞
∞
δ
(
f
x
?
k
d
)
(14)
式(11) = \frac{d}{2}exp(i2\pi f_x b)sinc(f_x\frac{d}{2})\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f_x-\frac{k}{d}) \\=\frac{1}{2}exp(i2\pi k\frac{b}{d})sinc(\frac{k}{2})\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(f_x-\frac{k}{d}) \tag{14}
式(11)=2d?exp(i2πfx?b)sinc(fx?2d?)n=?∞∑∞?δ(fx??dk?)=21?exp(i2πkdb?)sinc(2k?)k=?∞∑∞?δ(fx??dk?)(14)
下面将式(10)和式(14)回带到式(5)中可得，
F
F
T
{
T
T
0
}
=
a
x
a
y
2
d
x
d
y
[
∑
m
=
?
∞
∞
∑
n
=
?
∞
∞
s
i
n
c
(
m
a
x
d
x
,
n
a
y
d
y
)
δ
(
f
x
?
m
a
x
,
f
y
?
n
a
y
)
]
?
[
∑
k
=
?
∞
∞
e
x
p
(
i
2
π
k
b
d
)
s
i
n
c
(
k
2
)
δ
(
f
x
?
k
d
)
]
=
a
x
a
y
2
d
x
d
y
[
∑
n
,
m
,
k
=
?
∞
∞
s
i
n
c
(
m
a
x
d
x
,
n
a
y
d
y
)
s
i
n
c
(
k
2
)
e
x
p
(
i
2
π
k
b
d
)
(
δ
(
f
x
?
m
d
x
,
f
y
?
n
d
y
)
?
δ
(
f
x
?
k
d
)
)
]
(15)
FFT\{TT_0\}=\frac{a_xa_y}{2d_xd_y}\Big[\sum_{m=-\infty}^\infty \sum_{n=-\infty}^\infty sinc(\frac{ma_x}{d_x},\frac{na_y}{d_y})\delta(f_x-ma_x,f_y-na_y)\Big]*\Big[\sum_{k=-\infty}^\infty exp(i2\pi k\frac{b}{d})sinc(\frac{k}{2})\delta(f_x-kd)\Big] \\=\frac{a_xa_y}{2d_xd_y}\Big[\sum_{n,m,k=-\infty}^\infty sinc(\frac{ma_x}{d_x},\frac{na_y}{d_y})sinc(\frac{k}{2})exp(i2\pi k\frac{b}{d})\Big(\delta(f_x-\frac{m}{d_x},f_y-\frac{n}{d_y})*\delta(f_x-\frac{k}{d})\Big)\Big]\tag{15}
FFT{TT0?}=2dx?dy?ax?ay??[m=?∞∑∞?n=?∞∑∞?sinc(dx?max??,dy?nay??)δ(fx??max?,fy??nay?)]?[k=?∞∑∞?exp(i2πkdb?)sinc(2k?)δ(fx??kd)]=2dx?dy?ax?ay??[n,m,k=?∞∑∞?sinc(dx?max??,dy?nay??)sinc(2k?)exp(i2πkdb?)(δ(fx??dx?m?,fy??dy?n?)?δ(fx??dk?))](15)
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Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z ? 1 e ? t d t ? . \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,. Γ(z)=∫0∞?tz?1e?tdt.
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