[人工智能]误差与梯度下降

误差

误差 ＝ 方差 ＋ 偏差2 + 噪音 组成，一般来说，随着模型复杂度的增加，方差会逐渐增大，偏差会逐渐减小

偏差（Bias）

偏差（bias）：偏差衡量了模型的预测值与实际值之间的偏离关系。通常在深度学习中，我们每一次训练迭代出来的新模型，都会拿训练数据进行预测，偏差就反应在预测值与实际值匹配度上，比如通常在keras运行中看到的准确度为96%，则说明是低偏差；反之，如果准确度只有70%，则说明是高偏差。

方差（Variance）

方差（variance）：方差描述的是训练数据在不同迭代阶段的训练模型中，预测值的变化波动情况（或称之为离散情况）。从数学角度看，可以理解为每个预测值与预测均值差的平方和的再求平均数。通常在深度学习训练中，初始阶段模型复杂度不高，为低方差；随着训练量加大，模型逐步拟合训练数据，复杂度开始变高，此时方差会逐渐变高。

噪声（Noise）

噪声的存在是学习算法所无法解决的问题，数据的质量决定了学习的上限。假设在数据已经给定的情况下，此时上限已定，我们要做的就是尽可能的接近这个上限。

**注意：**我们能够用来学习的训练数据集只是全部数据中的一个子集。想象一下，我们现在收集几组不同的数据，因为每一组数据的不同，我们学习到模型的最小损失值也会有所不同，它们与“真实模型”的最小损失也是不一样的。

过拟合、欠拟合、恰好

方差的数学公式为：E [(h(x) - h(x))2] ，也就是说为每个预测值与预测均值差的平方和再求平均数，可以表现为一种波动变化，低方差意味低变化，高方差意味高变化。那我们可以通过训练的不同阶段来直观感受方差的变化。

上图为训练初始阶段，我们的模型（蓝线）对训练数据（红点）拟合度很差，是高偏差，但蓝线近似线性组合，其波动变化小，套用数学公式也可知数值较小，故为低方差，这个阶段也称之为欠拟合（underfitting），需要加大训练迭代数。

上图为训练的后期阶段，可明显看出模型的拟合度很好，是低偏差，但蓝线的波动性非常大，为高方差，这个阶段称之为过拟合（overfitting），问题很明显，蓝线模型很适合这套训练数据，但如果用测试数据来检验模型，就会发现泛化能力差，准确度下降。

上图这个蓝色模型可认为是“恰好”的一个模型，既能跟训练数据拟合，又离完美拟合保持一定距离，模型更具通用性，用测试数据验证会发现准确度也不错。

如何做到恰好

• 加大数据量，数据越多，自然其泛化能力也越强。但现实情况我们不能像大公司那样拥有很多资源，那怎么办？一种可行的办法就是根据已有的数据做数据增强，比如旋转、反转、白增强等操作造出很多数据；
• 正则化（regularization），通常来说有dropout、L2、L1等正则化手段；
• 提早结束训练，防止训练过拟合化。

交叉验证（Cross-Validation）【分类问题】

public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。交叉验证 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练模型，然后再验证集上比较，确实出最好的模型之后（比如模型3），再用全部的训练集训练模型3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整模型，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。

K折交叉验证（ K-fold Cross Validation）

我们每次的测试集将不再只包含一个数据，而是多个，具体数目将根据K的选取决定。比如，如果K=5，那么我们利用五折交叉验证的步骤就是：

1.将所有数据集分成5份

2.不重复地每次取其中一份做测试集，用其他四份做训练集训练模型，之后计算该模型在测试集上的MSE

3.将5次的MSE取平均得到最后的MSE

梯度下降（Gradient Descent）

梯度

在微积分里面，对多元函数的参数求?偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。比如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(?f/?x, ?f/?y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(?f/?x0, ?f/?y0)T.或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(?f/?x, ?f/?y，?f/?z)T,以此类推。

那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从几何意义上讲，就是函数变化增加最快的地方。具体来说，对于函数f(x,y),在点(x0,y0)，沿着梯度向量的方向就是(?f/?x0, ?f/?y0)T的方向是f(x,y)增加最快的地方。或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是 -(?f/?x0, ?f/?y0)T的方向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最小值。

梯度下降与梯度上升

在机器学习算法中，在最小化损失函数时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数，和模型参数值。反过来，如果我们需要求解损失函数的最大值，这时就需要用梯度上升法来迭代了。

梯度下降法和梯度上升法是可以互相转化的。比如我们需要求解损失函数f(θ)的最小值，这时我们需要用梯度下降法来迭代求解。但是实际上，我们可以反过来求解损失函数 -f(θ)的最大值，这时梯度上升法就派上用场了。

梯度下降法算法详解

梯度下降的直观解释

首先来看看梯度下降的一个直观的解释。比如我们在一座大山上的某处位置，由于我们不知道怎么下山，于是决定走一步算一步，也就是在每走到一个位置的时候，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是当前最陡峭的位置向下走一步，然后继续求解当前位置梯度，向这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走一步。这样一步步的走下去，一直走到觉得我们已经到了山脚。当然这样走下去，有可能我们不能走到山脚，而是到了某一个局部的山峰低处。

从上面的解释可以看出，梯度下降不一定能够找到全局的最优解，有可能是一个局部最优解。当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就一定是全局最优解。

梯度下降的相关概念

1. 步长（Learning rate）：步长决定了在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度负方向前进的长度。用上面下山的例子，步长就是在当前这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走的那一步的长度。
2. 特征（feature）：指的是样本中输入部分，比如2个单特征的样本（x(0),y(0)）,（x(1),y(1)）（x(0),y(0)）,（x(1),y(1)）,则第一个样本特征为x(0)x(0)，第一个样本输出为y(0)y(0)。
3. 假设函数（hypothesis function）：在监督学习中，为了拟合输入样本，而使用的假设函数，记为hθ(x)hθ(x)。比如对于单个特征的m个样本（x(i),y(i)）(i=1,2,…m)（x(i),y(i)）(i=1,2,…m),可以采用拟合函数如下： hθ(x)=θ0+θ1xhθ(x)=θ0+θ1x。
4. \4. 损失函数（loss function）：为了评估模型拟合的好坏，通常用损失函数来度量拟合的程度。损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数即为最优参数。在线性回归中，损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。比如对于m个样本（xi,yi）(i=1,2,…m)（xi,yi）(i=1,2,…m),采用线性回归，损失函数为：

? 其中xixi表示第i个样本特征，yiyi表示第i个样本对应的输出，hθ(xi)hθ(xi)为假设函数。

梯度下降的详细算法

梯度下降法的算法可以有代数法和矩阵法（也称向量法）两种表示，如果对矩阵分析不熟悉，则代数法更加容易理解。不过矩阵法更加的简洁，且由于使用了矩阵，实现逻辑更加的一目了然。这里先介绍代数法，后介绍矩阵法。

梯度下降代数法

1. 先决条件： 确认优化模型的假设函数和损失函数。

比如对于线性回归，假设函数表示为 hθ(x1,x2,…xn)=θ0+θ1x1+…+θnxnhθ(x1,x2,…xn)=θ0+θ1x1+…+θnxn, 其中θiθi (i = 0,1,2… n)为模型参数，xixi (i = 0,1,2… n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征x0=1x0=1 ，这样hθ(x0,x1,…xn)=∑i=0nθixihθ(x0,x1,…xn)=∑i=0nθixi。

同样是线性回归，对应于上面的假设函数，损失函数为：

2. 算法相关参数初始化：主要是初始化θ0,θ1…,θnθ0,θ1…,θn,算法终止距离εε以及步长αα。在没有任何先验知识的时候，我喜欢将所有的θθ初始化为0， 将步长初始化为1。在调优的时候再 优化。

3. 算法过程：

1）确定当前位置的损失函数的梯度，对于θiθi,其梯度表达式如下：

2）用步长乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即α??θiJ(θ0,θ1…,θn)α??θiJ(θ0,θ1…,θn)对应于前面登山例子中的某一步。

3）确定是否所有的θiθi,梯度下降的距离都小于ε，如果小于ε则算法终止，当前所有的θiθi(i=0,1,…n)即为最终结果。否则进入步骤4.

4）更新所有的θ，对于θi，其更新表达式如下。更新完毕后继续转入步骤1

梯度下降法的矩阵方式描述

hθ(X)=Xθ ，其中， 假设函数hθ(X)为mx1的向量,θ为(n+1)x1的向量，里面有n+1个代数法的模型参数。X为mx(n+1)维的矩阵。m代表样本的个数，n+1代表样本的特征数。

损失函数的表达式为：J(θ)=1/2(Xθ?Y)T(Xθ?Y)J(θ)=1/2(Xθ?Y)T(Xθ?Y), 其中Y是样本的输出向量，维度为mx1.

算法相关参数初始化: θ向量可以初始化为默认值，或者调优后的值。算法终止距离ε，步长α和3.1比没有变化。

3. 算法过程：

1）确定当前位置的损失函数的梯度，对于θθ向量,其梯度表达式如下：

??θJ(θ)??θJ(θ)

2）用步长乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即α??θJ(θ)α??θJ(θ)对应于前面登山例子中的某一步。

3）确定θ向量里面的每个值,梯度下降的距离都小于ε，如果小于ε则算法终止，当前θ向量即为最终结果。否则进入步骤

4）更新θθ向量，其更新表达式如下。更新完毕后继续转入步骤1.

θ=θ?α??θJ(θ)θ=θ?α??θJ(θ)

还是用线性回归的例子来描述具体的算法过程。

损失函数对于θ向量的偏导数计算如下：

??θJ(θ)=XT(Xθ?Y)??θJ(θ)=XT(Xθ?Y)

步骤4中θ向量的更新表达式如下：θ=θ?αXT(Xθ?Y)θ=θ?αXT(Xθ?Y)

可以看到矩阵法要简洁很多。这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个矩阵求导的公式。

这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个个矩阵求导的公式。

公式1：??x(xTx)=2xx为向量??x(xTx)=2xx为向量

公式2：?Xf(AX+B)=AT?Yf,Y=AX+B,f(Y)为标量

梯度下降的算法调优

1. 算法的步长选择。在前面的算法描述中，我提到取步长为1，但是实际上取值取决于数据样本，可以多取一些值，从大到小，分别运行算法，看看迭代效果，如果损失函数在变小，说明取值有效，否则要增大步长。前面说了。步长太大，会导致迭代过快，甚至有可能错过最优解。步长太小，迭代速度太慢，很长时间算法都不能结束。所以算法的步长需要多次运行后才能得到一个较为优的值。

2. 算法参数的初始值选择。 初始值不同，获得的最小值也有可能不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；当然如果损失函数是凸函数则一定是最优解。由于有局部最优解的风险，需要多次用不同初始值运行算法，关键损失函数的最小值，选择损失函数最小化的初值。

3. .归一化。由于样本不同特征的取值范围不一样，可能导致迭代很慢，为了减少特征取值的影响，可以对特征数据归一化，也就是对于每个特征x，求出它的期望xˉˉˉxˉ和标准差std(x)，然后转化为：

   这样特征的新期望为0，新方差为1，迭代速度可以大大加快

   梯度下降法大家族（BGD，SGD，MBGD）

   批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）

   批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新

随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）

随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。

小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）

小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折衷，也就是对于m个样本，我们采用x个样子来迭代，1<x<m。一般可以取x=10，当然根据样本的数据，可以调整这个x的值。对应的更新公式是：