基于内容的推荐算法
有5个电影，4个人对电影的评分，假设每部电影有2种特征量,即
x
(
i
)
∈
R
(
2
)
x^{(i)} \in R^{(2)}
x(i)∈R(2)，如何估算出图中问号的值呢？
我们假设每个用户
j
j
j有一个参数向量
θ
(
j
)
\theta^{(j)}
θ(j)，在此例中
θ
(
j
)
∈
R
(
2
)
\theta^{(j)}\in R^{(2)}
θ(j)∈R(2)。用户的参数向量与电影的特证向量维度是相同的。那么与用户对每部电影的评分为：
(
θ
(
j
)
)
T
x
(
i
)
(\theta^{(j)})^{T} x^{(i)}
(θ(j))Tx(i)。
例如第一个用户对第三部电影的预测评分为：
两个向量三维的原因是有一个偏置数，对结果影响不大，暂不考虑。
总结一下条件：
已知：每部电影的特征向量、用户对电影的评价、评分公式：
(
θ
(
j
)
)
T
x
(
i
)
(\theta^{(j)})^{T} x^{(i)}
(θ(j))Tx(i)、求每个用户的参数向量：
θ
(
j
)
\theta^{(j)}
θ(j)。
这就转化为线性回归问题：
最后再使用梯度下降算法或者其他算法求解，得到最终表达式：
在知道每部电影的特征向量，求解每个用户的参数向量，以上就是基于内容的推荐算法。
协同过滤算法
我们把上面的例子调整一下，假设我们不知道每部电影的特征向量，但是我们知道每个打分用户的参数向量
θ
(
j
)
\theta^{(j)}
θ(j)。
这时候求解每部电影的特征向量
x
(
i
)
x^{(i)}
x(i)。
计算流程和上面基于内容的推荐算法相同，结果如下：
结合两个流程：
两个流程结合就出现这样的情况：先得到
θ
(
j
)
\theta^{(j)}
θ(j)然后求解
x
(
i
)
x^{(i)}
x(i)，再求解
θ
(
j
)
\theta^{(j)}
θ(j)，这样反复迭代，所以被称为协同过滤。
仔细看两个流程的最后结果的前半部分其实是同一个东西，所以可以得到最终的计算式：
协同过滤算法的总流程：
低秩矩阵分解
假设我们知道
θ
(
j
)
\theta^{(j)}
θ(j)，
x
(
i
)
x^{(i)}
x(i)，怎么快速计算评分呢？
可以把得分矩阵进行分解：
Y
=
x
θ
T
Y= x \theta^{T}
Y=xθT
如何找到两个相似的电影呢？
均值规范化
假设新加入第五用户，根据最下面的代价函数，此时新用户
θ
(
5
)
\theta^{(5)}
θ(5)应该全是0，此时评分也全是0，这就没有意义了。
那么如何让新用户的0参数向量有意义呢？
使用均值归一化！
然后改变得分公式：
(
θ
(
j
)
)
T
x
(
i
)
+
u
(\theta^{(j)})^{T} x^{(i)} + u
(θ(j))Tx(i)+u
这样即使新用户的参数向量是0向量，它的评分结果也不会是0，而是每个电影的平均得分，这时候就变得有意义。