三 环和域
群
Z
,
Q
,
R
,
C
,
Z
/
n
Z
Z,Q,R,C,Z/nZ
Z,Q,R,C,Z/nZ 和
M
n
(
R
)
M_n(R)
Mn?(R) 不仅是 交换群，它们也是交换环 。此外，
Q
、
R
Q、R
Q、R 和
C
C
C 是域。现在我们介绍 环 和 域 。
定义2.16 一个 环 是一个 集合
A
A
A ，它有 两个运算
-
+
+
+ :
A
×
A
→
A
A\times A \rightarrow A
A×A→A (称为 加法)
-
?
?
? :
A
×
A
→
A
A \times A \rightarrow A
A×A→A (称为 乘法)
其运算具有以下性质:
-
(
R
1
)
(R1)
(R1) :
A
A
A 是一个关于
+
+
+ 的交换器
-
(
R
2
)
(R2)
(R2) :
?
*
? 是可结合的，且幺元为
1
∈
A
1 \in A
1∈A
-
(
R
3
)
(R3)
(R3) :
?
*
? 关于
+
+
+ 是可分配的
用于 加法 的 单位元 (幺元) 记为
0
0
0 , $a\in A $ 的加法 逆元 记为
?
a
-a
?a 。更明确地说，关于 环 的公理 是下列等式
?
a
,
b
,
c
∈
A
\forall a, b, c \in A
?a,b,c∈A 均成立:
| 等式 | 运算律 | 序号 |
|---|
|
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
a + (b + c) = (a + b) + c
a+(b+c)=(a+b)+c | (关于
+
+
+ 的结合律) |
(
2.1
)
(2.1)
(2.1) | |
a
+
b
=
b
+
c
a + b = b + c
a+b=b+c | (关于
+
+
+ 的交换律) |
(
2.2
)
(2.2)
(2.2) | |
a
+
0
=
0
+
a
=
a
a + 0 = 0 + a = a
a+0=0+a=a | (零律) |
(
2.3
)
(2.3)
(2.3) | |
a
+
(
?
a
)
=
(
?
a
)
+
a
=
0
a + (-a) = (-a) + a = 0
a+(?a)=(?a)+a=0 | (加逆元) |
(
2.4
)
(2.4)
(2.4) | |
a
?
(
b
?
c
)
=
(
a
?
b
)
?
c
a * (b * c) = (a * b) * c
a?(b?c)=(a?b)?c | (关于
?
*
? 的结合律) |
(
2.5
)
(2.5)
(2.5) | |
a
?
1
=
1
?
a
=
a
a * 1 = 1 * a = a
a?1=1?a=a | (关于
?
*
? 的幺元) |
(
2.6
)
(2.6)
(2.6) | |
(
a
+
b
)
?
c
=
(
a
?
c
)
+
(
b
?
c
)
(a + b) * c = (a * c) + (b * c)
(a+b)?c=(a?c)+(b?c) | (分配律) |
(
2.7
)
(2.7)
(2.7) | |
a
?
(
b
+
c
)
=
(
a
?
b
)
+
(
a
?
c
)
a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
a?(b+c)=(a?b)+(a?c) | (分配律) |
(
2.8
)
(2.8)
(2.8) |
如果
a
?
b
=
b
?
a
,
?
a
,
b
∈
A
a * b = b * a, \forall a, b \in A
a?b=b?a,?a,b∈A 时，环是 交换的。
由于
(
2.7
)
(2.7)
(2.7) 和
(
2.8
)
(2.8)
(2.8) ， 我们可以轻易的获得
a
?
0
=
0
?
a
(
2.9
)
a
?
(
?
b
)
=
(
?
a
)
?
b
=
?
(
a
?
b
)
(
2.10
)
a * 0 = 0 * a \qquad \qquad \quad\quad \qquad \quad(2.9) \\ a * (-b) = (-a) * b = -(a * b) \quad (2.10)
a?0=0?a(2.9)a?(?b)=(?a)?b=?(a?b)(2.10)
注意
(
2.9
)
(2.9)
(2.9) 这意味着，当
1
=
0
,
?
a
∈
A
,
a
=
0
1=0, \forall a \in A, a = 0
1=0,?a∈A,a=0 因此
A
=
{
0
}
A=\{0\}
A={0}。这样的环
A
=
{
0
}
A=\{0\}
A={0} 称为 简单环。一个环，如果
1
≠
0
1 \ne 0
1?=0 称为 重要环。两个元素
a
,
b
∈
A
a, b\in A
a,b∈A 的乘法
a
?
b
a?b
a?b 通常用
a
b
ab
ab 表示。
例子
-
加法群
Z
,
Q
,
R
,
C
Z, Q, R, C
Z,Q,R,C 是交换环。 -
?
n
∈
N
\forall n\in N
?n∈N，群
Z
/
n
Z
Z/nZ
Z/nZ 是一个加的群。我们也可以定义一个乘运算
a
￣
?
b
￣
=
a
b
￣
=
a
b
m
o
d
n
￣
,
?
a
,
b
∈
Z
\overline a \cdot \overline b = \overline{ab}=\overline{ab\quad mod\quad n}, \forall a, b \in Z
a?b=ab=abmodn,?a,b∈Z 以
0
0
0 为零，以
1
1
1 为 乘法单位，读者可以很容易地检验环公理是否满足。得到的环用
Z
/
n
Z
Z/nZ
Z/nZ 表示 -
单变量实系数 多项式 群
R
[
X
]
R[X]
R[X] 是多项式 乘法 下的一个环。它是一个 交换环。 -
设
d
d
d 为任意正整数，如果
d
d
d 不能被
m
2
m^2
m2 形式的 整数 整除，
m
∈
N
m\in N
m∈N 且
m
≥
2
m \ge 2
m≥2 ，那么
d
d
d 是 无平方 的。例如，
d
=
1
、
2
、
3
、
5
、
6
、
7
、
10
d = 1、2、3、5、6、7、10
d=1、2、3、5、6、7、10 是无平方的，但
4
、
8
、
9
、
12
4、8、9、12
4、8、9、12不是无平方的。如果是任意无平方的整数，且
d
≥
2
d\ge 2
d≥2 ，则为实数集
Z
[
d
]
=
{
a
+
b
d
∣
a
,
b
∈
Z
}
Z[\sqrt d] = \{a + b\sqrt d|a, b \in Z\}
Z[d
?]={a+bd
?∣a,b∈Z} 是一个 交换环。如果
z
=
a
+
b
d
∈
Z
[
d
]
z = a + b\sqrt d \in Z[\sqrt d]
z=a+bd
?∈Z[d
?] ，则
z
￣
=
a
?
b
d
\overline z = a - b\sqrt d
z=a?bd
? ，这样
z
z
￣
=
a
2
?
d
b
2
z\overline z = a^2 - db^2
zz=a2?db2 。 -
类似地，如果
d
≥
1
d\ge 1
d≥1 是一个正的无平方整数，则 复数 的集合
Z
[
?
d
]
=
{
a
+
i
b
d
∈
C
∣
a
,
b
∈
Z
}
Z[\sqrt{-d}] = \{a+ib\sqrt d \in C| a, b \in Z\}
Z[?d
?]={a+ibd
?∈C∣a,b∈Z} 是交换环。如果
z
=
a
+
i
b
d
∈
Z
[
?
d
]
z = a + ib\sqrt d \in Z[\sqrt{-d}]
z=a+ibd
?∈Z[?d
?] ，则
z
￣
=
a
?
i
b
d
\overline z = a - ib\sqrt d
z=a?ibd
? ，这样
z
z
￣
=
a
2
+
d
b
2
z\overline z = a^2 + db^2
zz=a2+db2 。
d
=
1
d=1
d=1 是高斯研究的一个著名例子，
Z
[
?
1
]
Z[\sqrt {-1}]
Z[?1
?]，也记作
Z
[
i
]
Z[i]
Z[i] ，称为 高斯整数环。 -
n
×
n
n\times n
n×n 矩阵群
M
n
(
R
)
M_n(R)
Mn?(R) 是矩阵 乘法 下的一个 环 。然而，它 不是交换环。 -
连续函数
f
:
(
a
,
b
)
→
R
f:(a, b) \rightarrow R
f:(a,b)→R 群
C
[
a
,
b
]
C[a,b]
C[a,b] 是定义在运算
f
?
g
f\cdot g
f?g 定义为
(
f
?
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
,
?
x
∈
(
a
,
b
)
(f\cdot g)(x) = f(x)g(x), \forall x \in (a, b)
(f?g)(x)=f(x)g(x),?x∈(a,b) 下的 环 。
定义2.17 给一个环
A
A
A,
?
a
∈
A
\forall a \in A
?a∈A , 如果
b
∈
A
b\in A
b∈A , 使得
b
≠
0
且
a
b
=
0
b \ne 0 且 ab= 0
b?=0且ab=0 ，那么
a
a
a 是
0
0
0 的因子（除数）。环A是一个 积分域（或 整环）如果
0
≠
1
0 \ne 1
0?=1 ，
A
A
A 是可交换的，且
a
b
=
0
ab = 0
ab=0 意味着
?
a
,
b
∈
A
,
a
=
0
或
者
b
=
0
\forall a, b \in A, a = 0 或者 b = 0
?a,b∈A,a=0或者b=0 。换句话说，整环 是一个除
0
0
0 外没有零因子的 非平凡交换环。
例子
-
环
Z
,
Q
,
R
,
C
Z,Q,R,C
Z,Q,R,C 都是是积分域 -
单变量实系数 多项式环
R
[
X
]
R[X]
R[X] 是一个 积分域 -
对于任何正整数
n
∈
N
n\in N
n∈N，我们有环
Z
/
n
Z
Z/nZ
Z/nZ ，如果
n
n
n 是 合数，那么这个环就 有零因子。例如，如果
n
=
4
n=4
n=4 ，那么我们有
2
?
2
≡
0
(
m
o
d
4
)
2 \cdot 2 ≡ 0 (mod \quad 4)
2?2≡0(mod4) 如果
n
n
n 是 素数 ，
Z
/
n
Z
Z/nZ
Z/nZ 是一个 积分域 (使用 命题2.16) -
如果
d
d
d 是一个无平方的正整数且
d
≥
2
d \ge 2
d≥2 ，环
Z
[
d
]
Z[\sqrt d]
Z[d
?]是一个 积分域。类似地，如果
d
≥
1
d\ge 1
d≥1 是一个无平方正整数，则环
Z
[
?
d
]
Z[\sqrt {-d}]
Z[?d
?] 是一个 积分域。 -
n
×
n
n×n
n×n 矩阵
M
n
(
R
)
M_n(R)
Mn?(R) 环有零因子。
环之间的 同态 是一个 保持 加法和乘法(以及0和1)的映射
定义2.18 给定两个环
A
A
A 和
B
B
B ,
A
A
A 和
B
B
B 之间的 同态 是函数
h
:
A
→
B
,
?
x
,
y
∈
A
h: A\rightarrow B, \forall x, y\in A
h:A→B,?x,y∈A 满足以下条件:
h
(
x
+
y
)
=
h
(
x
)
+
h
(
y
)
h
(
x
y
)
=
h
(
x
)
h
(
y
)
h
(
0
)
=
0
h
(
1
)
=
1
h(x + y) = h(x) + h(y) \\ h(xy) = h(x) h(y) \\ h(0) = 0\\ h(1) = 1
h(x+y)=h(x)+h(y)h(xy)=h(x)h(y)h(0)=0h(1)=1
实际上，因为
B
B
B 是加法下的一个 群，所以
h
(
0
)
=
0
h(0) = 0
h(0)=0 是从
h
(
x
+
y
)
=
h
(
x
)
+
h
(
y
)
h(x+y) =h(x) + h(y)
h(x+y)=h(x)+h(y) 推导出来的。
例子
-
如果
A
A
A 是一个环，
?
n
∈
Z
,
?
a
∈
A
\forall n \in Z, \forall a \in A
?n∈Z,?a∈A , 我们定义
n
?
a
n\cdot a
n?a 如下
n
?
a
=
a
+
?
a
?
n
n \cdot a = \underbrace{a+\cdots a}_{n}
n?a=n
a+?a?? 如果
n
≥
0
n \ge 0
n≥0 (且
0
?
a
=
0
0 \cdot a = 0
0?a=0) 和
n
?
a
=
?
(
?
n
)
?
a
n \cdot a = -(-n)\cdot a
n?a=?(?n)?a 如果
n
<
0
n \lt 0
n<0，则通过
h
(
n
)
=
n
?
1
A
h(n) = n \cdot 1_A
h(n)=n?1A? 给出的映射
h
:
Z
→
A
h:Z\rightarrow A
h:Z→A 是一个 环同态 （其中
1
A
1_A
1A? 是
A
A
A 的乘法恒等式(幺元)） -
?
λ
∈
R
\forall \lambda \in R
?λ∈R ，求值映射
η
λ
:
R
[
x
]
→
R
\eta_{\lambda}: R[x] \rightarrow R
ηλ?:R[x]→R 定义如下
η
λ
(
f
(
X
)
)
=
f
(
λ
)
,
?
f
(
X
)
∈
R
[
x
]
\eta_{\lambda}(f(X)) = f(\lambda) , \forall f(X) \in R[x]
ηλ?(f(X))=f(λ),?f(X)∈R[x] 是一个 环同态 (
f
(
X
)
f(X)
f(X) 是一个多项式 )。
定义2.19 环同态
h
:
A
→
B
h:A\rightarrow B
h:A→B 是同构的，当且仅当有环同态
g
:
B
→
A
g:B \rightarrow A
g:B→A 使得
g
°
h
=
i
d
A
g\circ h = id_A
g°h=idA? 和
f
°
g
=
i
d
b
f \circ g = id_b
f°g=idb? 。从环到自身的同构称为 自同构
在群同构的情况下，同构
g
g
g 是唯一的，用
h
?
1
h^{-1}
h?1 表示，并且 双射环同态
h
:
A
→
B
h: A\rightarrow B
h:A→B 是 同构 的。
定义2.20 给定一个环
A
A
A ，
A
′
A^{'}
A′ 是
A
A
A 的 子环 ，如果
A
′
A^{'}
A′ 是
A
A
A 的子群（在加法下），那么在乘法下是封闭的，且包含
1
1
1.
例如，我们有如下的序列，其中包含符号左边的每个环都是包含符号右边的环的子环:
Z
?
Q
?
R
?
C
Z\subseteq Q \subseteq R \subseteq C
Z?Q?R?C
环
Z
Z
Z 是
Z
[
d
]
Z[\sqrt d]
Z[d
?] 和
Z
[
?
d
]
Z[\sqrt {-d}]
Z[?d
?] 的子环, 环
Z
[
d
]
Z[\sqrt d]
Z[d
?] 是
R
R
R 的子环, 环
Z
[
?
d
]
Z[\sqrt {-d}]
Z[?d
?] 是
C
C
C 的子环。
如果
h
:
A
→
B
h: A \rightarrow B
h:A→B 是 环同态，那么很容易证明对于任意子环
A
′
A^{'}
A′ , 像
h
(
A
′
)
h(A^{'})
h(A′) 是
B
B
B 的子环; 对于任意子环
B
′
B^{'}
B′ ，像
h
?
1
(
B
′
)
h^{-1}(B^{'})
h?1(B′) 是
A
A
A 的子环。
对于群，环同态 核
h
:
A
→
B
h: A\rightarrow B
h:A→B 定义为
K
e
r
h
=
{
a
∈
A
∣
h
(
a
)
=
0
}
。
Ker h=\{a\in A |h(a) = 0\}。
Kerh={a∈A∣h(a)=0}。
就像在群的情况下一样，我们有以下关于环同态的内射的判据。这个证明和群证明是一样的。
命题2.17 如果
h
:
A
→
B
h: A\rightarrow B
h:A→B 是 环同态，则
h
:
A
→
B
h:A\rightarrow B
h:A→B 为 单射 当且仅当
K
e
r
h
=
{
0
}
Ker h=\{0\}
Kerh={0} 。(我们也写成
K
e
r
h
=
(
0
)
Ker h=(0)
Kerh=(0) 。)
环同态的核 是可加群的 子群 且是 交换 的，但一般来说，它不是
A
A
A 的 子环，因为它可能 不包含 乘法的单位元素
1
1
1 。但是，它满足乘法下的下列闭包属性
a
b
∈
K
e
r
h
且
b
a
∈
K
e
r
h
,
?
a
∈
K
e
r
h
且
b
∈
A
ab \in Ker h 且 ba \in Ker h, \forall a \in Ker h 且 b \in A
ab∈Kerh且ba∈Kerh,?a∈Kerh且b∈A
这是因为如果
h
(
a
)
=
0
h(a) = 0
h(a)=0 ，那么对于所有
b
∈
A
b \in A
b∈A ，有
h
(
a
b
)
=
h
(
a
)
h
(
b
)
=
0
h
(
b
)
=
0
且
h
(
b
a
)
=
h
(
b
)
h
(
a
)
=
h
(
b
)
0
=
0
h(ab) = h(a)h(b) = 0h(b) = 0 且 h(ba) = h(b)h(a) = h(b)0 = 0
h(ab)=h(a)h(b)=0h(b)=0且h(ba)=h(b)h(a)=h(b)0=0
定义2.21 给定一个环
A
A
A ，
J
J
J 是
A
A
A 的 子加群 满足 下面的性质时
a
b
∈
J
且
b
a
∈
J
,
?
a
∈
J
且
?
b
i
n
A
ab \in J 且 ba \in J, \forall a \in J 且 \forall b in A
ab∈J且ba∈J,?a∈J且?binA
称为 双面理想 。如果
A
A
A 是一个 交换环，我们简单地说一个 理想。
结果表明，对于任意环
A
A
A 和任意双面理想
J
J
J，可加陪集
a
+
J
(
a
∈
A
)
a +J(a \in A)
a+J(a∈A) 的集合
A
/
J
A/J
A/J 是一个环，称为 商环 。然后我们与 命题2.11 的类比，也称为 第一同构定理
命题2.18 给定环
h
:
A
→
B
h: A\rightarrow B
h:A→B 的 同态，环
A
/
K
e
r
h
A /Ker h
A/Kerh 和
I
m
h
=
h
(
a
)
Im h=h(a)
Imh=h(a) 是 同构 的
一个 域 是一个 交换环
K
K
K ，其中
K
?
{
0
}
K-\{0\}
K?{0} 是一个 乘法下的群。
定义2.22 集合
K
K
K 如果是一个 环 且满足下面几个性质
-
(
F
1
)
(F1)
(F1) :
0
≠
1
0\ne 1
0?=1
-
(
F
2
)
(F2)
(F2) :
?
a
∈
K
\forall a \in K
?a∈K ，如果
a
≠
0
a\ne 0
a?=0 , 则
a
a
a 关于
?
*
? 有逆元
-
(
F
3
)
(F3)
(F3) :
?
*
? 是可结合的
时，它是一个 域
设
K
?
=
K
?
{
0
}
K^{*} = K - \{0\}
K?=K?{0} , 注意
(
F
1
)
(F1)
(F1) 和
(
F
2
)
(F2)
(F2) 等价于
K
?
K^{?}
K? 是 关于
?
*
? 的一个群且 单位元素(幺元) 为
1
1
1 。如果
?
?
? 是 不可交换 的，但
(
F
1
)
(F1)
(F1) 和
(
F
2
)
(F2)
(F2) 保持不变，则我们说我们有一个 斜域 (或 非可交换域)。
例子
-
环
Q
,
R
Q, R
Q,R 和
C
C
C 是域 -
多项式
f
(
X
)
,
g
(
X
)
∈
R
[
X
]
f(X), g(X) \in R[X]
f(X),g(X)∈R[X] 的(形式)分数
f
(
X
)
/
g
(
X
)
f(X)/g(X)
f(X)/g(X) 是一个域，其中
g
(
X
)
g(X)
g(X) 不是零多项式。 -
连续函数
f
:
(
a
,
b
)
→
R
f:(a, b)\rightarrow R
f:(a,b)→R 的环
C
(
a
,
b
)
C(a, b)
C(a,b) 使所有
x
∈
(
a
,
b
)
,
f
(
x
)
≠
0
x\in (a, b), f(x) \ne 0
x∈(a,b),f(x)?=0 是一个域。 -
使用命题2.16，很容易看到环
Z
/
p
Z
Z/pZ
Z/pZ 是一个域 当且仅当
p
p
p 是素数。 -
如果是一个无平方的正整数且
d
≥
2
d\ge 2
d≥2，则集合
Q
(
d
)
=
{
a
+
b
d
∈
R
∣
a
,
b
∈
Q
}
Q(\sqrt d) = \{a + b\sqrt d \in R| a,b \in Q\}
Q(d
?)={a+bd
?∈R∣a,b∈Q} 是一个域。如果
z
=
a
+
b
d
∈
Q
(
d
)
且
z
￣
=
a
?
b
d
z = a + b \sqrt d \in Q(\sqrt d) 且 \overline z = a - b\sqrt d
z=a+bd
?∈Q(d
?)且z=a?bd
? , 则 很容易验证 当
z
≠
0
z \ne 0
z?=0 , 则
z
?
1
=
z
￣
/
(
z
z
￣
)
z^{-1} = \overline z / (z\overline z)
z?1=z/(zz) -
同样的，如果
d
≥
1
d\ge 1
d≥1 是一个无平方正整数，则复数集合
Q
(
?
d
)
=
{
a
+
i
b
d
∈
C
∣
a
,
b
∈
Q
}
Q(\sqrt{-d}) = \{a+ib\sqrt d \in C|a, b \in Q\}
Q(?d
?)={a+ibd
?∈C∣a,b∈Q} 是一个域，如果
z
=
a
+
i
b
d
∈
Q
(
?
d
)
且
z
￣
=
a
?
i
b
d
z = a + ib \sqrt d \in Q(\sqrt {-d}) 且 \overline z = a - ib\sqrt d
z=a+ibd
?∈Q(?d
?)且z=a?ibd
? , 则 很容易验证 当
z
≠
0
z \ne 0
z?=0 , 则
z
?
1
=
z
￣
/
(
z
z
￣
)
z^{-1} = \overline z / (z\overline z)
z?1=z/(zz)
定义2.23 两个域
K
1
K_1
K1? 和
K
2
K_2
K2? 之间的 同态
h
:
K
1
→
K
2
h:K_1\rightarrow K_2
h:K1?→K2? 仅仅是环
K
1
K_1
K1? 和
K
2
K_2
K2? 之间的同态。
然而，由于
K
1
?
K^{?}_1
K1?? 和
K
2
?
K^{?}_2
K2?? 是乘法下的群，域的同态必须是 单射 的
定义2.24 域同态
h
:
K
1
→
K
2
h: K_1 \rightarrow K_2
h:K1?→K2? 是同构的，当且仅当 另有域同态
g
:
K
2
→
K
1
g: K_2 \rightarrow K_1
g:K2?→K1? 使得
g
°
f
=
i
d
K
1
且
f
°
g
=
i
d
K
2
g \circ f = id_{K_1} 且 f \circ g = id_{K_2}
g°f=idK1??且f°g=idK2?? . 域到自身的同构称为 自同构
那么，就像环的情况一样，
g
g
g是唯一的，用
h
?
1
h^{-1}
h?1 表示，一个双射场同态
h
:
K
1
→
k
2
h:K_1\rightarrow k_2
h:K1?→k2? 是一个同构。
定义2.25 由于两个域之间的每一个同态
h
:
K
1
→
K
2
h:K_1\rightarrow K_2
h:K1?→K2? 是单射的，因此
K
1
K_1
K1? 的像
f
(
K
1
)
f(K_1)
f(K1?) 是
K
2
K_2
K2? 的一个 子域。我们说
K
2
K_2
K2? 是
K
1
K_1
K1? 的扩展。
例如，
R
R
R 是
Q
Q
Q 的扩展，
C
C
C 是
R
R
R 的扩展。
Q
(
d
)
Q(\sqrt d)
Q(d
?) 和
Q
(
?
d
)
Q(\sqrt{?d})
Q(?d
?) 是
Q
Q
Q 的扩展，
R
R
R 是
Q
(
d
)
Q(\sqrt d)
Q(d
?) 的扩展，
C
C
C 是
Q
(
?
d
)
Q(\sqrt{?d})
Q(?d
?) 的扩展
定义2.26 如果每个系数在
K
K
K 中的多项式
p
(
x
)
p(x)
p(x) 在
k
k
k 中都有一个根，则称一个域
K
K
K 为代数封闭的，即存在一个 $ a\in k, p(a) = 0$ 。
它能证明每个域
K
K
K 都有一个极小的代数闭包
Ω
\Omega
Ω ，称为
K
K
K 的 代数闭包 。例如，
C
C
C 是
R
R
R 的代数闭包。
Q
Q
Q 的代数闭包称为代数数域。这个域包含所有系数为
Q
Q
Q 零多项式的复数。
定义2.27 给定一个域
K
K
K 和
K
K
K 的自同构
h
:
K
→
K
h:K\rightarrow K
h:K→K ，很容易检查集合
F
i
x
(
h
)
=
{
a
∈
K
∣
h
(
a
)
=
a
}
Fix(h) = \{a \in K | h(a) = a\}
Fix(h)={a∈K∣h(a)=a}
是
K
K
K 的一个子域，称为被
h
h
h 固定的域。
例如，如果
d
≥
2
d\ge 2
d≥2 是无平方的，那么由
c
(
a
+
b
d
)
=
a
?
b
d
c(a+b\sqrt d) = a ? b\sqrt d
c(a+bd
?)=a?bd
? 给出的映射
c
:
Q
(
d
)
→
Q
d
)
c:Q(\sqrt d)\rightarrow Q\sqrt d)
c:Q(d
?)→Qd
?) 是
Q
(
d
)
Q(\sqrt d)
Q(d
?) 的自同构，且
F
i
x
(
c
)
=
Q
Fix(c) = Q
Fix(c)=Q 。
如果
K
K
K 是一个域，我们有 环同态
h
:
Z
→
K
h:Z\rightarrow K
h:Z→K 由
h
(
n
)
=
n
?
1
h(n) =n·1
h(n)=n?1 给出。如果
h
h
h 是 单射 的，那么
K
K
K 包含
Z
Z
Z 的一个副本，因为它是一个域，所以它包含
Q
Q
Q 的一个副本。在这种情况下，我们说
K
K
K 的 特征 是
0
0
0 。如果
h
h
h 不是单射，则
h
(
Z
)
h(Z)
h(Z) 是
K
K
K 的 子环，因此是一个 积分域，
h
h
h 的核是
Z
Z
Z 的子群，根据 命题2.14，对于某些
p
≥
1
p\ge 1
p≥1 ，它必须是
p
Z
pZ
pZ 的形式。根据 第一同构定理，当
p
≥
1
p\ge 1
p≥1 时，
h
(
Z
)
h(Z)
h(Z) 与
Z
/
p
Z
Z/pZ
Z/pZ 同构。但是
p
p
p 必须是 素数 因为
Z
/
p
Z
Z/pZ
Z/pZ 是一个 积分域。素数
p
p
p 被称为
K
K
K 的 特征 ，我们也说
K
K
K 具有 有限的特征。
定义2.28 如果
K
K
K 是域，那么
-
(
1
)
(1)
(1)
n
?
1
≠
0
,
n
≥
1
n\cdot 1 \ne 0, n \ge 1
n?1?=0,n≥1 , 在这种情况下，我们说
K
K
K 有特征
0
0
0 ，或者
-
(
2
)
(2)
(2) 有一个最小的质数
p
p
p 使
p
?
1
=
0
p\cdot 1 = 0
p?1=0 称为
K
K
K 的特征，我们说
K
K
K 是有限特征。
特征为
0
0
0 的域
K
K
K 包含
Q
Q
Q 的一个副本，因此是无穷大的。有限域具有非零特征
p
p
p 。然而，有无限的非零特征的域
|