[人工智能]2021年亚太杯数学建模竞赛解题思路

A题 图像边缘分析与应用

这道题目属于CV（计算机视觉）领域的题目，好像和去年的题目比较相像，如果是研究生或者对CV领域有所了解应该对此题比较擅长。题目写了要建立数学模型，但是用深度学习算法也应该可以解决题中所给问题，对于图像分割，边缘检测可以用一些常用的CV算法（网上一大堆，CNN、YOLO，还有最近比较火的swin transformer）。
另外，针对此题目，如果要建立数学模型，把图片看作像素点堆成的矩阵，用python中的pytorch或tensorflow处理图像会比较容易实现自己的想法，里面有大量的图像处理函数。
在边缘检测后，就需要对轮廓进行分段，这个就是题目的难点，可以这么来，依次遍历边缘点，可以先检测直线，这个很好办，依次加入点坐标进去，斜率不发生明显变化，那就可以定义为直线段，其他的都是弧线，剩下的弧线，从某点开始，依次连接其他点，算斜率，斜率方向要么绕顺时，要么逆时，改变方向就是下一个弧线，圆形就可以直接用这个方法搞出来；对于这种图像也好办，边缘检测后用DBSCAN聚类出来就行。
此题对小白不是很友好，DS- C君不建议编程能力弱的团队选择此题，如果有相关经验此题应该非常简单了。

题目

2021年亚太数学建模竞赛
问题
图像边缘分析与应用
随着科学技术的发展，对各种工件和零件的测量精度的要求越来越高，对测量仪器的要求也越来越高。各种图像测量设备如数字图像尺寸测量仪正在逐步取代传统的手工卡尺测量应用。一般情况下，摄像机经过标定后，根据标定后图像的点阵或棋盘格特征信息，对图像进行畸变校正，计算出图像坐标空间与世界坐标空间的映射关系。
目标物体的边缘在图像识别和计算机分析中是非常有用的。图像边缘是图像局部特征的不连续性的反映。边缘可以勾勒出目标物体的轮廓，使观察者一目了然。边缘包含丰富的内在信息(如方向、阶跃属性、形状等)，是图像识别中提取图像特征的重要属性。图像边缘轮廓提取是图像边界分割中非常重要的一项处理，也是图像处理中的一个经典问题。轮廓提取和轮廓跟踪的目的都是为了获取图像的外部轮廓特征。在必要时应用某些方法来表达轮廓的特征，为图像形状分析做准备，对执行高级处理，如特征描述、识别和理解有重大影响。
轮廓可以描述为一组有序点，轮廓的一般表达式为多边形。轮廓可以是封闭的，也可以是开放的。图像上的封闭轮廓从头到尾都是连通的，开放轮廓通常与图像边界相交。在图1中，有五条封闭的等高线。虽然sobel和canny等边缘检测算法可以根据图像灰度值的差值来检测图像边缘像素的边界，但并没有将轮廓作为一个整体。在图像上，轮廓对应于一系列像素点。轮廓描述连续的点序列，边缘像素点可以组合成轮廓曲线来描述图像的边缘信息。
亚像素是定义在图像采集传感器的两个物理像素之间的虚拟像素。为了提高分辨率或图像质量，亚像素计算是非常有用的。亚像素边缘提取是一种比传统像素边缘提取更精确的方法。亚像素是指图像上每个像素点的坐标值不再是整数定位，而是浮点数定位。如果利用亚像素技术将精度提高到0.1像素，相当于提高10倍的图像系统分析分辨率。
以下三个示意图，在图1中，提取了图像的物体边缘轮廓线，并将图像边缘轮廓分割成直线段、圆弧段、圆等基本图形。在图2中，将一个圆角矩形的边缘轮廓分为几个几何形状。在图3中，在灰度像素图像网格的背景上绘制了一个椭圆的亚像素轮廓曲线。

图1所示。图像边缘检测

图2。图像边缘轮廓

图3。图像的亚像素边缘轮廓
问题1:建立一个数学模型,分析亚像素边缘提取的方法和过程有1/10像素精度及以上、亚像素边缘提取轮廓边界的主要对象的边缘部分的三张图片(Pic1_1、Pic1_2 Pic1_3)在附件1中,和亚像素边缘点数据转换成命令边缘轮廓曲线数据,需要考虑如何消除边缘毛刺和阴影部分的干扰影响。需要注意的是，Pic1_3图像是在相对复杂的光照条件下拍摄的，干涉信息更多。
a)请将提取的不同颜色的边缘轮廓绘制在图像上，输出为彩色边缘轮廓图像，并保存为png图像格式提交。文件名为pic1_1。png、pic1_2。png、pic1_3.png。
b)将边缘轮廓数据以附件1中的EdgeContoursOutput.xls文件的格式输出，将Pic1_1和Pic1_2图像的数据分别输出到工作表对应的Sheet1和Sheet2。输出数据包含总边缘轮廓数、图像坐标空间中总边缘轮廓长度、每条轮廓曲线的点数和长度以及每条轮廓点的X、Y坐标数据。
c)文中需要给出每张图像上的总轮廓曲线计数，以及每条曲线上的点计数和长度数据。见表1、表2、表3。
表1。Pic1_1边缘轮廓数据输出格式
总边缘轮廓计数
总边缘轮廓长度
边缘轮廓1 长度
PointCount
边缘轮廓2 长度
PointCount
.．. .．. .．.

表2。Pic1_2边缘轮廓数据输出格式
总边缘轮廓计数
总边缘轮廓长度
边缘轮廓1 长度
PointCount
边缘轮廓2 长度
PointCount
.．. .．. .．.

表3。Pic1_3边缘轮廓数据输出格式
总边缘轮廓计数
总边缘轮廓长度
问题2:在拍摄被测图像时，有一个点矩阵校准板放置在目标物体的同一水平高度上。定标板上的网点直径为1mm，两点之间的中心距离为2mm。附件2包含三张不同角度拍摄的标定板图像和一张产品图像(pic2_1 .bmp)。请建立数学模型，利用标定板图像信息对产品图像进行图像校正分析，考虑如何尽可能准确地计算出产品图像上边缘分割拟合曲线段的实际物理尺寸。请计算每个边缘轮廓的长度(mm)，最后计算出总边缘轮廓长度(mm)。根据图4所示的轮廓数据标注，输出附件2中EdgeContoursLengthOutput.xls等表格格式文件的数据结果。

表4。边缘轮廓长度输出格式(mm)
轮廓ID 长度(毫米)
总边缘轮廓
边缘轮廓1
边缘轮廓2
边缘轮廓3
边缘轮廓4
边缘轮廓5
边缘轮廓6

图4。图像轮廓数据标注

问题3:附件3提供了两个亚像素轮廓边缘数据(EdgeContour1.xls和EdgeContour2.xls)，其形状如图5所示。建立数学模型，分析边缘轮廓曲线数据自动分割拟合为直线段、圆弧段(含圆)、椭圆圆弧段(含椭圆)，讨论边缘轮廓自动分割拟合的模型方法或策略。蓝色曲线从蓝色数字1标签开始，沿着箭头方向输出模型计算结果数据。绿色曲线从绿色数字1标签开始，沿箭头方向输出模型计算结果数据。请将分段曲线分段的参数按表格格式填写到表格中。提交表7和表8(轮廓1和轮廓2分割数据)。请注意，该表中的行类型是根据实际类型填充的。

图5。边缘轮廓曲线数据

表5所示。分割数据几何形状参数格式
类型 参数
行 StartPt EndPt 长度(像素)
圆 中心 半径 长度(像素)
CircularArc 中心 StartPt EndPt SweepAngle
椭圆 中心 大小 RotationAngle
EllipticArc 中心 大小 StartPt EndPt SweepAngle RotationAngle

表6所示。演示Coutour的分割数据
边缘轮廓演示
没有 类型 参数
S1 行 (20100) (80100) 60像素
S2 CircularArc (80, 90) (80100) (90, 90) -90°
S3 行 (90, 90) (90年,60岁) 30像素
S4 EllipticArc (90年,40) (20、10) (90年,60岁) (90年,20) + 180° -90°

表7所示。轮廓1分割数据输出格式
边缘轮廓1
没有 类型 参数
S1
S2
S3
S4
S5
.．.
表8所示。轮廓2分割数据输出格式
边缘轮廓2
没有 类型 参数
S1
S2
S3
S4
S5
.．.

备注:

1. SweepAngle表示从起始点到结束点的扫角，角系;
2. 尺寸表示指定椭圆或椭圆弧在X、Y方向上的半径值;
3. RotationAngle表示指定椭圆或椭圆弧转角系统的转角值;
4. 对于旋转角度的方向，从x轴正方向到y轴正方向的旋转方向为正，反之为负。
5. 所有图像坐标点均在图像坐标系下表示，即左上角为(0,0)原点，x轴正方向向右，y轴正方向向下。

B题 热光伏技术中热辐射器的优化设计

这道题目就是各个建模赛事的传统艺能了，属于物理类题目。这道题目和前年还是去年的国赛中的一道题比较像（防护服）。这道题目不建议非相关专业同学选择，DS数模-C君建议选择的同学注意多做图表，如果有能力就做做仿真实验，结果应该会比较好。此题目选择人数应该是最少的，获奖相对而言会容易一点。

需要测算出不同条件下的导热稀疏，这题就是多目标规划，用优化算法求解，但是要注意要设置几层，哪一层在上都是要寻优的。此题大家在最后要对答案，是存在答案范围的哦。

题目

2021年亚太数学建模竞赛

问题B
热光伏技术中热辐射器的优化设计
近年来，世界各大国纷纷将目光投向“星海”，制定了各种太空探索方案。2020年，中国的“天文一号”发射并导航到火星;然后在2021年，火星车“祝融”完成了它的计划任务，并留在火星上，它仍在为更多的浩瀚宇宙的发现而工作。为了确保月球车携带的各种仪器和设备能够在没有阳光照射的情况下正常工作，并为其长期工作提供必要的技术支持，科学家们探索并开发了热光伏技术。下图显示的是热光伏装置的测试原型。

图1:热光伏器件测试样机
热光伏技术是利用各种热源对热发射器(吸收体)进行加热，然后将热发射器的红外辐射通过光伏电池转化为电能的技术。热源有很多种，包括化学能、太阳能、核能等。系统中的热发射器主要利用不同的材料结构来调节吸收的热量的发射，使大部分发射的光子低于光伏电池的带隙波长。光伏电池主要是转换特定带隙波长以下的高能光子。它具有一定的带隙能量，因此具有相应的带隙波长。例如，带隙波长为1100纳米的硅太阳能电池只能吸收上述波长以下的高能光子并将其转化为

1
而电池所吸收的波长以上的低能量光子则不能
通过光电效应转化为电能。相反，它们只能转化为热能，从而降低了电池的光电转换效率。因此，要提高热光伏系统的热电转换效率，必须对热发射器的发射光谱进行调控。发射光谱的计算方法主要有转移矩阵法(Transfer Matrix Method, TMM)[1-2]、时域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method, FDTD)和严格耦合波分析法(strict Coupled Wave Analysis Method, RCWA)。影响热发射器发射光谱的主要因素是材料的光学特性(折射率或介电常数)和结构特性(厚度)。Wang等人开发了一种亚微米厚的多层选择性太阳能吸收器，它由钨、二氧化硅和氮化硅组成，在太阳波段的吸收率高达0.95。2014年，麻省理工学院的Evelyn Wang团队设计了一种光子控制的太阳能热光伏装置，在实验中运行良好。在他们的工作中，热发射器是由硅和二氧化硅组成的多层薄膜结构。优化了每一层的厚度，使其发射光谱与铟镓砷化物锑(InGaAsSb)电池的带隙相一致。不同材料的折射率或介电常数可以通过查阅文献或查阅材料光学属性数据库[5]来获得，该数据库提供了常见材料的折射率。请根据以上介绍解决以下问题

(1)请表达单层结构的发射光谱与材料性质(折射率、厚度)之间的关系，并计算出50纳米厚的钨(如下图)在0.3-5微米范围内的发射光谱。

图2 50纳米厚钨的原理图
(2)表示多层结构的发射光谱与材料性质(折射率、厚度)的关系，计算由钨(50 nm)和二氧化硅(50 nm)组成的复合结构的发射光谱(如图所示)

以下)在0.3-5微米。
2

图3:由钨和硅组成的多层结构示意图
(3)为了提高散热器的光谱控制能力，有时将热发射器设计为窄带发射，即发射集中在很小的波段内，从而提高热光伏器件的热电转换效率，例如Sakurai等人设计的多层窄带发射器，它使用硅、二氧化硅和锗。请选择合理的材料，设计一个多层热发射器，使其发射尽可能窄带和高，并给出多层结构的设计参数(包括层数、每层材料和厚度)，以及其发射光谱。注意，本问题中的idea thermal emitter在1.5微米处有尖锐且高的热发射，并且计算波长范围为0.3-5微米。

(4)目前，锑化镓(GaSb)电池较先进。假设其带隙波长为1.71微米。其理想化的热发射器的发射光谱大致由下图中的红色虚线所示。蓝点线代表外部量子效率(EQE)，其影响可以被适当考虑。请选择合理的材料，为GaSb电池设计一个多层热发射器，以实现可能的最高热电转换效率，并给出多层结构的设计参数(包括层数、每层材料和厚度)及其发射光谱。

图4:热光伏GaSb的EQE和理想发射光谱
3.
注:这里的发射光谱都是垂直发射。
专业术语解释:
热光伏:一种将热能转化为电能的装置，包括热源、热辐射器、光伏电池、散热系统等。
热辐射器:加热时发出热辐射的部件。
引用:
张国强，张国强，张国强，等。基于转移矩阵法的薄膜多层膜的菲内尔系数研究[j] .材料工程，2014,47(4):1 - 7。电子学报，2019,518(3):032026。
张永强，李建军，李建军，等。光学多层系统中相干、部分相干和非相干干涉的传输矩阵方法[J]。应用光学，2002,41(19):3978-3987。

王洪，阿舍赫里，苏洪等。在空气中具有优异热稳定性的大面积无光刻超薄多层选择性太阳涂层的设计、制备及光学表征[J]。太阳能材料与电池，2018,17(4):445-452。

[4] Lenert A, Bierman D M, Nam Y，等。纳米光热光伏器件的研究进展[J]。纳米技术，2014,9(2):126-130。
[5] https://refractiveindex.info/(折射率数据库)
[6]樱井A, Yada K, Simomura T，等。基于贝叶斯优化的非周期多层超材料超箭带波长选择性热发射[J]。中国生物医学工程学报，2019,31(2):531 - 531。

4

C题 生态保护的建设及其对环境影响的评价

这道题目就是传统的数据分析题目了，需要吐槽的是，组委会是要我们自己去搜集数据的，那么，数据集的好坏直接影响到模型的上限，做此题的注意数据集的搜集工作很重要。

这道题目是三道题目里最常规的题目，基本所有的建模比赛都有这类的相关题目，推荐大家选择。题目中的评价模型可以选择灰色综合评价法、模糊综合评价法等评价方法，具体的分析将会在下午前进行更新，获取方式看签名，大家可以期待一下哦。

对于最后一问可以参考往年美赛的论文，里面都有这道题目，靠大家的语文功底啦。

题目

2021年亚太地区数学建模大赛

问题C
生态保护的建设及其对环境影响的评价
中国坚持清澈、青山是宝贵资产的理念，坚持尊重、和谐保护自然，优先节约资源，保护环境、让自然恢复，实施可持续发展战略，完善生态文明领域整体协调机制，建设生态文明体系，促进经济社会发展向全面绿色增长转型，建设美丽国家。在中国政府的帮助下，中国的塞罕坝林场已从沙漠中恢复过来，现已成为具有防沙功能稳定的环保、绿色农场。
自1962年以来，有369名平均年龄在24岁以下的年轻人来到这片布满沙土的荒地。从那时起，他们在这里献出了自己的生命，一波又一波，在沙子里种植种子，在石头的缝隙里种植绿色，就像钉子钉着荒地上数百万英亩的森林。他们植树来固定沙子和保护水源，建造一个绿色屏障来阻挡风和沙子。目前，塞罕坝地区的森林覆盖率已达到80%。它每年向北京和天津提供1.37亿立方米的清洁水，封存74.7万吨碳，释放54.5万吨氧气。
经过半个多世纪的斗争，世界上最大的人工林建在塞罕坝的地球上。建设者们扩大造林112万亩，树木超过4亿棵，在北京以北400公里的高原荒地上形成了一片绿地。
一方面，“文明发展，动物学繁荣”是历史使命。另一方面，在绿色发展的道路上也遇到了一些新的问题。因此，塞罕坝人现在有了一个更高的目标，即恢复生态。自中共十八届全国代表大会以来，先后启动了植树造林、人工林自然改良、自然林近归化栽培三大重大项目。他们试图使人工森林更接近自然森林。

请由您的团队建立数学模型，并回答以下问题：

1.塞罕坝在抗风抗沙、保护环境、维持生态平衡和稳定等方面起着重要作用。请选择合适的指标，收集相关数据，建立塞罕坝对生态环境影响的评价模型，定量评价塞罕坝恢复后对环境的影响，即对塞罕坝恢复前后的环境条件进行比较分析。
2.塞罕坝林场的恢复对北京抗沙尘暴发挥了重要作用。请选择合适的指标，收集相关数据，建立评价塞罕坝对北京抗沙尘暴能力影响的数学模型，并定量评价塞罕坝在北京抵御沙尘暴中的作用。
3.假设我们计划将塞罕坝的生态保护模型扩展到全国，请建立数学模型并收集相关数据，以确定中国哪些地理位置需要建立生态区域。生态保护区），并确定待建设的生态区域的数量或规模，并评价其对实现中国碳中和目标的影响。
4.中国的塞罕坝生态保护模式为亚太地区树立了榜样。请从亚太地区选择另一个国家建立数学模型，收集相关数据，然后讨论该国需要建设哪个地理位置。生态保护区)，以及确定要建设的生态区域的数量或规模；此外，评估其对吸收温室气体和减轻碳排放的影响。
5.请向亚太地区数学竞赛建模组委会(APMCM)撰写一份非技术性报告，描述您的模型，并提出建立生态保护区的可行计划和建议。
提示：在建立模型的过程中，可以考虑中国等亚太地区现有生态森林的条件；不同树木的生长环境要求（即特定树木的特定区域）；如何平衡生态林地、经济发展用地和工业用地的布局；目标地理区域是否有足够的土地来开发生态保护区。
参考资料：http：//lycy.hebei.gov.cn/shb/show_article.php？id=5876

最后在此建议大家：选题很重要，切忌中途换题，会越换越乱呦。