[人工智能]机器学习: 线性判别分析（LDA）

一、简介

线性判别分析( Linear Discriminant Analysis,简称LDA)是一种经典的线性学习方法,在二分类问题上因为最早由 Fisher,1936提出,亦称“ Fisher判别分析。严格来说LDA与Fisher判别分析稍有不同。前者假设了各类样本的协方差矩阵相同且满秩。

LDA 的思想非常朴素: 给定训练样法将样例投影到一条使得同 样例的投影点尽可能接近、 异类样例投影点尽可能能远离;在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定样本的类别. 如下图所示。

若此时我们使用PCA，我们会得到不可分状况，就是蓝色与绿色样本点都混在一起，详见主成分分析(PCA)。

一、两类LDA的情况

可以看见，跟主成分分析(PCA) 一样，LDA事实上也可以看作一种降维方法。那PCA和LDA有什么区别呢？

(1) PCA是无监督的（即不需要类标辅助来进行寻找用来降维的变换矩阵W），而LDA则需要类标来寻找用于降维的变换矩阵W）
(2) 两者的目标也不一样，PCA想要的是所有点与点之间尽可能地分开，而LDA想要寻找样本类间距离最大和类内距离最小的投影矩阵。

我们首先讨论数据集只有两种类别的情况，然后将其推广到多类别的情况。

我们令$X_i,{\mu }_i,{\sum }_i$分别表示第i类样本的集合，均值向量和协方差矩阵。设样本的维度是d，我们使用$\mathbf{w}\in R^{d\times 1}$将样本映射到一维空间（直线上）。

现在使同类样例的投影点尽可能接近，可以让同类样例投影点的协方差尽可能小（类比d=1时，样本方差越近则样本点约集中，现在d != 1, 需令其协方差尽可能小），也就是${\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\Sigma }}_0\mathbf{w}+{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\Sigma }}_1\mathbf{w}$尽可能小（投影点的协方差可以将分量展开，可验证确实为此公式）。另外我们希望不同类的样本投影尽可能远离，可以让类中心之间的距离尽可能大，即 ${\Vert {\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\mu }}_0?{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\mu }}_1\Vert }_2^2$ 尽可能大.同时考虑二者，则可得到欲最大化的目标

$$\begin{array}{rl}J& =\frac{{\Vert {\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\mu }}_0?{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\mu }}_1\Vert }_2^2}{{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\Sigma }}_0\mathbf{w}+{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\Sigma }}_1\mathbf{w}}\\ & =\frac{{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\left({\mathbf{\mu }}_0?{\mathbf{\mu }}_1\right){\left({\mathbf{\mu }}_0?{\mathbf{\mu }}_1\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{w}}{{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\left({\mathbf{\Sigma }}_0+{\mathbf{\Sigma }}_1\right)\mathbf{w}}\end{array}$$

定义类内散度矩阵${\mathbf{S}}_{\mathbf{w}}$（w是指within-class scatter matrix)
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{S}}_w& ={\mathbf{\Sigma }}_0+{\mathbf{\Sigma }}_1\\ & =\sum _{\mathbf{x}\in X_0}\left(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_0\right){\left(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_0\right)}^{\mathrm{T}}+\sum _{\mathbf{x}\in X_1}\left(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_1\right){\left(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_1\right)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

以及类间散度矩阵${\mathbf{S}}_{\mathbf{b}}$（b是指between-class scatter matrix)

$${\mathbf{S}}_b=\left({\mathbf{\mu }}_0?{\mathbf{\mu }}_1\right){\left({\mathbf{\mu }}_0?{\mathbf{\mu }}_1\right)}^{\mathrm{T}}$$

因此我们的目标转化为以下形式，又称${\mathbf{S}}_{\mathbf{b}},{\mathbf{S}}_{\mathbf{w}}$的广义瑞利商（generalized Rayleigh quotient）

$$J=\frac{{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_b\mathbf{w}}{{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_w\mathbf{w}}$$

因为上式中分子分母都是关于$\mathbf{w}$的二次型，所以目标值域$\mathbf{w}$的方向相关。我们令${\mathrm{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_w\mathbf{w}$,此时可以使用拉格朗日乘子法求$\mathbf{w}$，如下所示：

$$\begin{array}{ll}{\min }_w& ?{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_b\mathbf{w}\\ \text{?s.t.?}& {\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_w\mathbf{w}=1\end{array}$$

$${\mathbf{S}}_b\mathbf{w}=\lambda {\mathbf{S}}_w\mathbf{w}$$

此处求解待补充，建议查看《南瓜书PumpkinBook》

一、多类LDA的情况

现在我们将其推广到多类的情形，并且讨论不仅仅时映射到一维空间的情况（即降维）。

设类别的数目为N，且第i类示例数为$m_i$，总样本数量为m。由于此时存在多个类，我们不能再用类均值投影点的差值使得类中心之间的距离尽可能大。此时转换一个思路，如果说我们的映射能够使得所有样本点之间都尽量的远离（也就是全局的协方差尽可能大），但类内的样本点都尽可能大靠拢（也就是类内样本点的协方差尽可能小），那么此时就相当于类与类之间的样本点会远离（否则全局协方差不可能是大的）。

因此，我们定义全局散度矩阵

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{S}}_t& =\sum _{i=1}^m\left({\mathbf{x}}_i?\mathbf{\mu }\right){\left({\mathbf{x}}_i?\mathbf{\mu }\right)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

其中$\mu$是所有样本的均值向量。

类内矩阵散度${\mathbf{S}}_{\mathbf{w}}$跟原来的定义一致，原来是两个，现在是N个。

$${\mathbf{S}}_w=\sum _{i=1}^N{\mathbf{S}}_{w_i}$$
$${\mathbf{S}}_{w_i}=\sum _{\mathbf{x}\in X_i}\left(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_i\right){\left(\dot{\mathbf{x}}?{\mathbf{\mu }}_i\right)}^{\mathrm{T}}$$

由此推导的类间矩阵散度${\mathbf{S}}_{\mathbf{b}}$为
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{S}}_b& ={\mathbf{S}}_t?{\mathbf{S}}_w\\ & =\sum _{i=1}^m({\mathbf{x}}_i?\mathbf{\mu })({\mathbf{x}}_i?\mathbf{\mu }{)}^{\mathrm{T}}?\sum _{i=1}^N\sum _{\mathbf{x}\in X_i}(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_i)(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_i{)}^{\mathrm{T}}\\ & =\sum _{i=1}^N\left(\sum \mathbf{x}\in X_i\left((\mathbf{x}?\mathbf{\mu })(\mathbf{x}?\mathbf{\mu }{)}^{\mathrm{T}}?(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_i)(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_i{)}^{\mathrm{T}}\right)\right)\\ & =\sum _{i=1}^N\left(\sum _{\mathbf{x}\in X_i}\left((\mathbf{x}?\mathbf{\mu })({\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}})?(\mathbf{x}?{\mathbf{\mu }}_i)({\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}})\right)\right)\\ & =\sum _{i=1}^N\left(\sum _{\mathbf{x}\in X_i}\left(\mathbf{x}{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}?\mathbf{x}{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}?\mathbf{\mu }{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}?\mathbf{x}{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{x}{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}\right)\right)\\ & =\sum _{i=1}^N\left(\sum _{\mathbf{x}\in X_i}\left(?\mathbf{x}{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}?\mathbf{\mu }{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{x}{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}\right)\right)\\ & =\sum _{i=1}^N\left(?\sum _{\mathbf{x}\in X_i}\mathbf{x}{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}?\sum _{\mathbf{x}\in X_i}\mathbf{\mu }{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}+\sum _{\mathbf{x}\in X_i}\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}+\sum _{\mathbf{x}\in X_i}\mathbf{x}{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}+\sum _{\mathbf{x}\in X_i}{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}?\sum _{\mathbf{x}\in X_i}{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}\right)\\ & =\sum _{i=1}^N\left(?m_i{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}?m_i\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}+m_i\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}+m_i{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}+m_i{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}?m_i{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}\right)\\ & =\sum _{i=1}^N\left(?m_i{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}?m_i\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}+m_i\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}+m_i{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}\right)\\ & =\sum _{i=1}^N{m}_i\left(?{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}?\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}+\mathbf{\mu }{\mathbf{\mu }}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\mu }}_i{\mathbf{\mu }}_i^{\mathrm{T}}\right)\\ & =\sum _{i=1}^N{m}_i({\mathbf{\mu }}_i?\mathbf{\mu })({\mathbf{\mu }}_i?\mathbf{\mu }{)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

事实上，依照严格的协方差定义，应该是要在求和项前除以样本数，但周老师的书里面都没有除以样本数。但从目标公式来看，这并不影响$\mathbf{w}$求解的准确性。但在有些资料里面类间散度矩阵定义为$$\sum _{i=1}^N({\mathbf{\mu }}_i?\mathbf{\mu })({\mathbf{\mu }}_i?\mathbf{\mu }{)}^{\mathrm{T}}$$

三、LDA用于降维

上面的情况都是使用$\mathbf{w}$将样本映射到一维空间。也就是把样本直接降到了一维。

我们看到在以下公式中，
$${\mathbf{S}}_b\mathbf{w}=\lambda {\mathbf{S}}_w\mathbf{w}$$

$\mathbf{w}$其实是可看成矩阵${\mathbf{S}}_w^{?1}{\mathbf{S}}_b$的最大特征向量，而对于${\mathbf{S}}_w^{?1}{\mathbf{S}}_b\in R^{d\times d}$，其特征向量不止一个。

因此，若设$\mathbf{W}=\left({\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\dots ,{\mathbf{w}}_i,\dots ,{\mathbf{w}}_{N?1}\right)\in {\mathbb{R}}^{d\times (N?1)}$

那么我们有

$$?\begin{array}{rl}\mathrm{tr}\left({\mathbf{W}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_b\mathbf{W}\right)& =\sum _{i=1}^{N?1}{\mathbf{w}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_b{\mathbf{w}}_i\\ \mathrm{tr}\left({\mathbf{W}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_w\mathbf{W}\right)& =\sum _{i=1}^{N?1}{\mathbf{w}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_w{\mathbf{w}}_i\end{array}$$

同样地，我们希望这些映射仍能满足类间距离尽可能大，类内距离尽可能小，因此有

$$\underset{\mathbf{W}}{\max }\frac{{\sum }_{i=1}^{N?1}{\mathbf{w}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{S}b{\mathbf{w}}_i}{{\sum }_{i=1}^{N?1}{\mathbf{w}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_w{\mathbf{w}}_i}$$

也就是
$$\underset{\mathbf{W}}{\max }\frac{\mathrm{tr}({\mathbf{W}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_b\mathbf{W})}{\mathrm{tr}({\mathbf{W}}^{\mathrm{T}}\mathbf{S}w\mathbf{W})}$$

此时仍根据拉格朗日乘子法求解
$${\mathbf{S}}_b\mathbf{W}=\lambda {\mathbf{S}}_w\mathbf{W}$$

$\mathbf{W}$的闭式解则是${\mathbf{S}}_w^{?1}{\mathbf{S}}_b$的N-1个最大广义特征值所对应的特征向量组成的矩阵.（为什么这里是N-1个仍待探究）

问题：${\mathbf{S}}_w^{?1}$并不总是存在的

在实践中,${\mathbf{S}}_w^{?1}$通常是退化的,比如数据是具有大维度d的图像向量,而数据集的大小小于d。

此时我们通常先对数据进行一个PCA，来降低数据的维度。

然后进行一个LDA，使得测试数据更容易进行分类，准确率更高。

我们称y为Most Expressive Features (MEF)：使用PCA得到的特征(投影)。我们称z为Most Discriminating Features (MDF)利用LDA获得的特征(投影)。

四、PCA和LDA的区别

(1)当训练集较小时，PCA的表现优于LDA。
(2)当样本数量较大且对每一类具有代表性时，LDA的表现往往优于PCA。

参考资料

[1] 《机器学习》周志华
[2]《南瓜书PumpkinBook》