傅里叶变换
? ? 傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号，用来进行图像降噪，图像增强等处理。
? ? 对于数字图像这种离散的信号，频率大小表示信号变换的剧烈程度或者说信号变化的快慢。频率越大，变换越剧烈，频率越小，信号越平缓，对应到的图像中，高频信号往往是图像中的边缘信号和噪声信号，而低频信号包含图像变化频繁的图像轮廓及背景灯信号。
? ? 故傅里叶变换的结果图像中，中心的图像表示低频信号，边缘的图像代表高频图像，需要注意的是，原图像和傅里叶变换结果的图像不是一一对应的。
dft = cv.dft(np.float32(img), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))? ? np.fft.fftshift（）用于将FFT变换之后的频谱显示范围从[0, N]变为：[-N/2, N/2-1](N为偶数)? 或者[-(N-1)/2, (N-1)/2](N为奇数)，这一步的目的是在后续画频域图时候，能将低频部分移到中心，在使用IDFT时也需要进行这个操作。
第三句话用于计算傅里叶变换结果的幅值，Magnitude()函数的原理：
其中根号下为虚部与实部。20lg(x)是常用描述频域的单位，故此次做这个处理。
import numpy as np
import cv2 as cv
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv.imread(r'XXXXX')
img = cv2.cv2.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2GRAY)
dft = cv.dft(np.float32(img), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()?
?从图中可以看出，中心部分较亮，四周部分较暗，这说明图像的低频部分较多，高频部分较少，这符合正常图像的情况。
利用傅里叶变换可以完成许多操作，例如我们只提取低频部分，然后利用反FFT重构图像，完成模糊操作：
利用傅里叶变换进行操作：
实质上是先得到原图像的FFT，再截取FFT图像中的低频部分，再IFFT得到图像，完成模糊。
import cv2.cv2
import numpy as np
import cv2 as cv
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv.imread(r'XXXXXX')
img = cv2.cv2.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2GRAY)
dft = cv.dft(np.float32(img), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
fshift = dft_shift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv.idft(f_ishift)
img_back = cv.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1])
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Vague'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
?
?同理可得，我们也可以得到高频部分，很显然，高频部分即为边缘：
import cv2.cv2
import numpy as np
import cv2 as cv
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv.imread(r'XXXX')
img = cv2.cv2.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2GRAY)
dft = cv.dft(np.float32(img), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
mask = np.ones((rows,cols,2),np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
fshift = dft_shift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv.idft(f_ishift)
img_back = cv.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1])
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Vague'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
dft1 = cv.dft(np.float32(img_back), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift1 = np.fft.fftshift(dft1)
magnitude_spectrum1 = 20 * np.log(cv.magnitude(dft_shift1[:, :, 0], dft_shift1[:, :, 1]))
plt.subplot(121), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum1, cmap='gray')
plt.title('Vague'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
?
? ? ?这里有应该问题，为什么得到边界图像的FFT图像仍然是中心较亮，四周较暗的模式呢？
? ? ?其实很容易想明白，这个FFT图像还是由boundary原图像得到的，对于傅里叶变换来说，考虑的是整幅图像，而boundary原图像中，黑色部分占大部分，这又构成低频部分！
傅里叶变换优化
? ? 由于傅里叶变换的数学特性，其对图像的长与宽有一个喜好，我们可以根据cv.getOptimalDFTSize()函数来找到这个最优的尺寸，需要注意的是，得到的尺寸是在原有尺寸的基础上进行微量改变的。
img = cv.imread(r'XXXX')
img = cv2.cv2.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2GRAY)
rows,cols = img.shape
print("{} {}".format(rows,cols))
nrows = cv.getOptimalDFTSize(rows)
ncols = cv.getOptimalDFTSize(cols)
print("{} {}".format(nrows,ncols))
1050 750
1080 750可以看到，函数对我们的尺寸提出了改变。
那我们要怎么利用这个改变呢？有一个简单的方法，即可以创造一些边框来对图像进行微量扩充:
right = ncols - cols
bottom = nrows - rows
img = cv.copyMakeBorder(img,0,bottom,0,right,cv.BORDER_CONSTANT, value = 0)其实实质上，拉普拉斯变化，sobel算子，scharr算子，高斯变化都可以利用傅里叶变换来解释，但此处不再赘述。