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矩阵其实描述了空间中的映射
矩阵与空间映射
由于矩阵乘法的作用，原始向量的空间位置甚至其所在空间的维度和形状都发生了改变，这便是矩阵乘法的空间映射作用。
A
x
=
[
a
11
a
12
?
a
1
n
a
21
a
22
?
a
2
n
?
?
?
?
a
m
1
a
m
2
?
a
m
n
]
[
x
1
x
2
?
x
n
]
=
[
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
?
+
a
1
n
x
n
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
?
+
a
2
n
x
n
?
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
?
+
a
m
n
x
n
]
=
x
1
[
a
11
a
21
?
a
m
1
]
+
?
+
x
n
[
a
1
n
a
2
n
?
a
m
n
]
Ax = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n\end{bmatrix} =x_1\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} +\cdots+ x_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix}
Ax=??????a11?a21??am1??a12?a22??am2???????a1n?a2n??amn??????????????x1?x2??xn????????=??????a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?a21?x1?+a22?x2?+?+a2n?xn??am1?x1?+am2?x2?+?+amn?xn????????=x1???????a11?a21??am1????????+?+xn???????a1n?a2n??amn????????
降维与升维
根据向量所乘矩阵的尺寸大小，向量可能会被映射到与原来相比低的维度空间中，或着被映射到更高维的空间中。
降维
当式1中，当m<n时，矩阵A的行数小于列数。可以发现投影后，x被转换到了一个维数更低的新空间的新位置中。
换言之，在这种情况下矩阵A压缩了原始空间
R
n
R^n
Rn。
但新的空间的维数并不一定就是
R
m
R^m
Rm，这个在后面会统一说明。
升维
当式1中，当m>n时，矩阵A的行数小于列数。可以发现投影后，x被转换到了一个维数更”高“的新空间的新位置中。
从结果上看，x经矩阵A映射后维数提高了，但并没有由原始向量x所构成的空间
R
n
R^n
Rn变成了维数更高的空间。更具A的情况，甚至到了一个更低维度的空间。
秩
定义：一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。
决定经过矩阵乘法后的新空间的就是算法A的秩，因为秩决定了算法A可以描述的空间大小。
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