1. 什么是正则化？

Regularization，翻译过来可以称为正则化，或者是规范化。什么是规则？闭卷考试中不能查书，这就是规则，一个限制。同理，在这里，规则化就是说给损失函数加上一些限制，通过这种规则去规范他们再接下来的循环迭代中，不要自我膨胀。
具体细节请参见一篇文章完全搞懂正则化（Regularization）

2. 为什么要正则化？

一种简单的方法是通过线性函数 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}$ 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如 $\| \mathbf{w} \|^2$ 。要保证权重向量比较小，最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失，调整为最小化预测损失和惩罚项之和。
现在，如果我们的权重向量增长的太大，我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数 $\| \mathbf{w} \|^2$ 。这正是我们想要的。我们的损失由下式给出：

$L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.$

回想一下， $\mathbf{x}^{(i)}$ 是样本 $i$ 的特征， $y^{(i)}$ 是样本 $i$ 的标签。 $(\mathbf{w}, b)$ 是权重和偏置参数。为了惩罚权重向量的大小，我们必须以某种方式在损失函数中添加 $\| \mathbf{w} \|^2$ ，但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？实际上，我们通过正则化常数 $\lambda$ 来描述这种权衡，这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：

$L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2,$

对于 $\lambda = 0$ ，我们恢复了原来的损失函数。对于 $\lambda > 0$ ，我们限制 $\| \mathbf{w} \|$ 的大小。我们仍然除以 $2$ ：当我们取一个二次函数的导数时， $2$ 和 $1 / 2$ 会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。聪明的读者可能会想知道为什么我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）。我们这样做是为了便于计算。通过平方 $L_2$ 范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

3. 代码实现

1）生成人工数据集

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

生成公式如下：

$\sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2).$

我们选择标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到 $d = 200$ ，并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

训练数据设置为20，（模型很复杂的时候），更容易过拟合

2）初始化模型参数

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

w是向量，b是标量

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

3）实现

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with torch.enable_grad():
                # 增加了L2范数惩罚项，广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为`batch_size`的向量。
                l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

第一层loop是数据迭代，第二层loop是每次从迭代器里拿出一个x和y
当然多了一个 lambd * l2_penalty(w)，其余跟之前一样

4）结果

$\lambda = 0$ ：非常明显的过拟合了，测试根本就莫得变化
在这里插入图片描述
$\lambda = 3$ ：权重明显变小了

5）使用框架

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss()
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减。
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with torch.enable_grad():
                trainer.zero_grad()
                l = loss(net(X), y)
            l.backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())